Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Элементы линейной алгебры

Задача 5. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Решение. Обозначим через А–матрицу коэффициентов при неизвестных; Х–матрицу-столбец неизвестных Х1, Х2, Х3; Н – матрицу-столбец свободных членов:

А= Х=,  Н=,

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

 А·Х=Н (1)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель ∆ отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А-1, получим:

А-1·А·Х=А-1·Н.

 Но А-1·А=Е (Е – единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому

Х=А-1·Н. (2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу

А=  Тогда А-1=   , 

где Аij (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента аij в определителе матрицы А, которое является произведением (−1)i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель ∆ и алгебраические дополнения Аij элементов матрицы А.

∆=  = 100 – следовательно матрицы А имеет обратную матрицу А-1.

А11 =(−1)i+1.  A12 =(−1)1+2.

A13 =(−1)1+3.  A21 =(−1)2+1.

A22 =(−1)2+2.  A23 =(−1)2+3.  

A31 =(−1)3+1.  A32 =(−1)3+2.

A33 =(−1)3+3.

Тогда

А-1 =

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Х=А-1·Н=·

=

=

Отсюда х1=3, х2=0, х3=−2.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

2. Назовите основные свойства определителей.

3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?

4. Напишите формулу Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

5. Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

6. Что называется матрицей?

7. Как определяются основные действия над матрицами?

8. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?

9. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг матрицы?

10. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

11. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.

12. Какова геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и неравенств?

Примеры решения типовых задач по математике