Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Векторное и смешанное произведения векторов

Определение 1.17. Векторным произведением двух ненулевых векторов   и  называется вектор, обозначаемый как , удовлетворяющий условиям:

- вектор  перпендикулярен векторам  и ;

- длина  равна , где ;

- векторы , ,  образуют правую тройку, то есть если векторы , ,  приведены к общему началу, то из конца  поворот от вектора  к вектору  на меньший угол происходит против часовой стрелки (Рис. 1.7).

Рис. 1.7. Векторное произведение двух ненулевых векторов

Векторное произведение обладает свойствами:

1) векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тгда и только тогда, когда они коллинеарны, в частности ;

2) , где  – скаляр;

3) ;

4) ;

5) длина  равна площади параллелограмма, построенного на векторах  и , приведенных к одной точке;

6) если координаты векторов  и  известны в декартовом базисе  как  и , то их векторное произведение можно представить в виде:

.

Определение 1.18. Смешанным произведением трех ненулевых некомпланарных векторов , ,  называется число, равное скалярному произведению вектора  и .

Обозначается смешанное произведение как  или .

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1) геометрически смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах и взятого со знаком «+», если  – правая тройка и со знаком «–», если   – левая тройка;

2) в смешанном произведении неважно, в каком порядке брать векторное и скалярное произведение: ,

но при перестановке двух сомножителей меняется знак: ;

3) три вектора компланарны, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю;

4) если координаты векторов ,  и  известны в декартовом базисе  как ,  и , то их векторное произведение можно представить в виде:

.

Пример 1.8. Вычислить координаты вектора , если известны декартовы координаты:   и .

Решение: По формуле, выражающей векторное произведение через декартовы координаты имеем:  

.

Ответ: координаты вектора .

Пример 1.9. Вычислить , если , .

Решение: Так как у векторов  и  третья координата не задана, то можно выразить векторное произведение через определитель 3-го рода, подставив вместо нее нули: .

Ответ: .

Примеры решения типовых задач по математике