Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Задача 4. Даны координаты трех точек: А(3; 0; −5), В (6; 2; 1), С (12; −12; 3).

Требуется: 1) записать векторы  и  в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами  и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .

Решение. 1. Если даны точки М1(х1; у1; z1) b V2 (х2; у2; z2), то вектор  через орты , ,  выражается следующим образом:

= (х2 – х1) +(у2 – у1) +(z2 – z1) = aх+ах+ах. (1)

Подставляя в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

=(6–3) +(2–0) +(1+5)=3+2+6.

Подобным образом =(12–3) +(−12–0) +(3+5) =9−12+8.

Модуль вектора  вычисляется по формуле

  =. (2)

Подставляя в формулу (2) найденные раннее координаты векторов   и , находим их модули:

==7, ==17.

2. Косинус угла α, образованного векторами ·, равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

 cos α =  (3)

Так как скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме попарных произведений одноименных координат, то ·=3·9+2·(−12)+6·8=51.

Применяя (3), имеем:

сos α =cos  =  α ≈ 64º37'.

3. Известно, что уравнение искомая плоскость проходит через точку М0(х0;у0;z0) перпендикулярно вектору n, имеет вид

 А( х–х0)+В(у–у0)+С(z–z0)=0. (4)

По условию задачи искомая плоскость проходит через точку С (12;−12;3) перпендикулярно вектору . Подставляя в (4) А=3, В=2, С=6, х0=12, у0=−12, z0=3, получим:

 3(х−12)+2(у+12)+6(z–3)=0,

3х+2у+6z−30=0 – искомое уравнение плоскости.

Вопросы для самопроверки

Какие величины называются скалярными? векторными?

Какие векторы называются коллинеарными?

Какие два вектора называются равными?

Как сложить два вектора? Как их вычесть?

Как найти координаты вектора по координатам точек его начала и конца?

Назовите правила сложения, вычитания векторов, заданных в координатной форме. Как умножить вектор на скаляр?

Дайте определение скалярного произведения двух векторов. Перечислите основные свойства скалярного произведения.

Как найти скалярное произведение двух векторов по их координатам?

Напишите формулу для определения угла между двумя векторами.

 Напишите условия: коллинеарности двух векторов; их перпендикулярности.

 Напишите общее уравнение плоскости.

 Напишите уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

 Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через три данные точки?

 напишите формулу для определения расстояния от точки до плоскости.

Примеры решения типовых задач по математике