Физика | |||
Примеры | |||
Задачи | |||
Графика | |||
Задачи из раздела Дифференциальное и интегральное исчисление
Задача 1. Вычислить пределы данных функций.
а)
.
Решение:
.
б)
.
Решение:
.
в)
.
Решение:
.
г)
.
Решение:
.
Задание 2. Найти производные функций:
а)
.
Решение:
.
б)
.
Решение:
.
в)
.
Решение:
.
.
.
.
.
г)
.
Решение:
.
.
.
.
Задача 3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.
.
Решение:
Область определения.
, значит,
- область определения.
Область непрерывности.
Т.к. данная функция элементарная, то ее область определения совпадает с областью непрерывности, т.е.
- область непрерывности.
x=-2,
– точки разрыва.
Исследуем характер точек разрыва.
.
.
x=-2 - точка разрыва второго рода.
.
.
x=2 - точка разрыва второго рода.
найдем асимптоты графика функции.
- вертикальная асимптота, если
, следовательно, x=-2,
- вертикальные асимптоты графика функции.
- наклонная асимптота (при
=0 горизонтальная), если существуют конечные пределы:
,
.
.
y=0 - горизонтальная асимптота графика функции.
найдем точки пересечения с осями координат.
С осью ОХ: y=0, значит,
, x=0.
(0;0) – точка пересечения с осью ОХ.
С осью OY: x=0, значит,
.
(0;0) – точка пересечения с осью ОY.
четность, нечетность функции.
.
Значит, данная функция является нечетной, следовательно, график функции симметричен начала координат.
найдем экстремумы функции, интервалы возрастания, убывания функции.
Следовательно,
- критические точки (
не существует).
Функция убывает при
.
Точек экстремума нет.
найдем точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости графика функции.
Следовательно,
- критическая точка (
=0).
- критические точки (
не существует).
График функции выпуклый при
, график функции вогнутый при
.
(0;0) точка перегиба.
8) построим график функции.