Задачи из раздела Дифференциальное и интегральное исчисление

Задача 1. Вычислить пределы данных функций.

а) .

Решение:

.

б) .

Решение:

.

в) .

Решение:

.

г) .

Решение:

.

Задание 2. Найти производные функций:

а) .

Решение:

.

б) .

Решение:

.

в) .

Решение:

.

.

.

.

.

г) .

Решение:

.

.

.

.

Задача 3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

.

Решение:

Область определения.

, значит, - область определения.

Область непрерывности.

Т.к. данная функция элементарная, то ее область определения совпадает с областью непрерывности, т.е. - область непрерывности.

x=-2, – точки разрыва.

Исследуем характер точек разрыва.

.

.

x=-2 - точка разрыва второго рода.

.

.

x=2 - точка разрыва второго рода.

найдем асимптоты графика функции.

- вертикальная асимптота, если , следовательно, x=-2,  - вертикальные асимптоты графика функции.

 - наклонная асимптота (при =0 горизонтальная), если существуют конечные пределы: , .

.

y=0 - горизонтальная асимптота графика функции.

найдем точки пересечения с осями координат.

С осью ОХ: y=0, значит, , x=0.

(0;0) – точка пересечения с осью ОХ.

С осью OY: x=0, значит, .

(0;0) – точка пересечения с осью ОY.

четность, нечетность функции.

.

Значит, данная функция является нечетной, следовательно, график функции симметричен начала координат.

найдем экстремумы функции, интервалы возрастания, убывания функции.

Следовательно, - критические точки ( не существует).

Функция убывает при .

Точек экстремума нет.

найдем точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости графика функции.

Следовательно, - критическая точка (=0).

- критические точки ( не существует).

График функции выпуклый при , график функции вогнутый при .

(0;0) точка перегиба.

8) построим график функции.