Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Где купить пломбу- наклейку на водяные счётчики. Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Задачи из раздела Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Задача 1. Решить систему уравнений: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) методом обратной матрицы (для проверки вычислений обратной матрицы воспользоваться ее определением).

Решение:

а) Найдем решение системы методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу системы:

.

Умножая первую строку на 4, вторую строку на 3 и вычитая из первой строки вторую, получим:

.

Умножая первую строку на 5, третью строку на 3 и вычитая из первой строки третью, получим:

.

Разделив вторую строку на (-1), третью строку на (-8), получим:

.

Умножая третью строку на 3 и вычитая из второй строки третью, получим:

.

Разделив третью строку на (-1), получим:

.

По виду этой матрицы заключаем, что система совместная и определенная (имеет единственное решение). Система, соответствующая полученной матрице, имеет вид:

.

Из последнего уравнения получаем: .

Из второго уравнения: , .

Из первого уравнения: , =0.

Получили решение системы уравнений:

.

б) Найдем решение системы по формулам Крамера.

.

.

.

.

.

.

.

в) Найдем решение системы методом обратной матрицы.

Введем обозначения: , , .

 - матричная запись системы линейных уравнений. Тогда .

Найдем  - обратную к  матрицу. В пункте а) найдено: .

, где   - алгебраические дополнения к элементам   матрицы .

Найдем .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Получили: .

Сделаем проверку: .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Получили: , значит,  действительно обратная к . Тогда получаем решение: .

.

.

Ответ: .

Задача 2. Даны координаты векторов . Найти:

длину вектора ;

скалярное произведение векторов  и ;

косинус угла между векторами  и ;

векторное произведение векторов  и ;

площадь параллелограмма  и площадь треугольника , построенных на векторах  и ;

смешанное произведение векторов ,  и ;

объем параллелепипеда  и объем пирамиды , построенных на векторах ,  и .

Решение:

Определим длину вектора . Длина вектора  равна:

.

Определим координаты вектора .

.

Тогда .

Найдем скалярное произведение векторов  и .

.

Найдем косинус угла между векторами  и .

.

Найдем векторное произведение векторов  и .

,

т.е. =(-1;2;-1).

Найдем площадь параллелограмма :

 (кв.ед.).

Найдем площадь треугольника :

 (кв.ед.).

Найдем смешанное произведение векторов ,  и .

.

7) Найдем объем параллелепипеда  и объем пирамиды .

Т.к. =0, то вектора ,  и  компланарны, т.е. лежат в одной плоскости, значит, построить на векторах ,  и  параллелепипед и пирамиду невозможно.

Задача 3. Определить какие кривые определяются следующими уравнениями. Построить графики кривых.

а) .

Решение:

Приведем данное уравнение к каноническому виду:

.

Это каноническое уравнение эллипса. , .

Построим график данной кривой.

б) .

Приведем данное уравнение к каноническому виду:

.

Это каноническое уравнение гиперболы. , .

Построим график данной кривой.

в) .

Это уравнение параболы с вершиной в точке (0;-3), ветви направлены вверх. Точки пересечения с осью ОХ: .

Построим график данной кривой.

Примеры решения типовых задач по математике