Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Пример 3. Вычислить с точностью  интеграл .

Решение. Запишем разложение функции  в ряд Маклорена:

+...

Вычислим интеграл

.

Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд. Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого, меньшего по абсолютной величине заданной точности .

Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .

Решение.

Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи  Выразим из уравнения :

Найдем , продифференцировав обе части равенства  по :

Окончательно получим:

.

Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье

 в интервале (-2, 2):

 по синусам на интервале .

Решение.

Разложение периодической (период ) функции имеет вид:

а) В нашем примере l=2.

где  

Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.

;

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.

Аналогично предыдущему

и окончательно получим:

Подставляя полученные значения  в разложение , получим:

б) Продолжим функцию на отрезок  нечетным образом (рис. 1).

Рис. 1

Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т.е. .

Найдем коэффициенты , используя формулу:

Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям:

.

Таким образом, .

Примеры решения типовых задач по математике