Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Скалярное произведение векторов

Определение 1.10. Углом между двумя векторами называется часть плоскости между их лучами, если вектора приложить к одной точке (Рис. 1.5). Угол между векторами обозначается как  или строчными греческими буквами (например, ) .

Рис. 1.5. Угол между двумя векторами

Как известно из школьного курса, осью называется направленная прямая. Как правило, ось определяется единичным вектором, имеющим общее с ней направление и задающим положительную направленность оси. Чтобы получить проекцию точки, требуется опустить на ось перпендикуляр из этой точки.

Определение 1.11. Проекцией вектора  на ось (или вектор)  называется вектор, началом которого служит проекция начала вектора , а концом – проекция конца вектора  на ось (или вектор ) (Рис. 1.6).

Обозначается проекция как , на Рис. 1.6: .

Рис. 1.6. Проекция вектора  на ось

Приведем свойства проекции:

1) , где ;

2) , где  и  - любые числа;

3) равные вектора имеют равные проекции.

Определение 1.12. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению их длин и косинуса угла между ними; обозначают скалярное произведение как : , где .

Следующие свойства скалярного произведения векторов вытекают прямо из определения:

1) ;

2) , где  - любое число;

3) ;

4) если , то , где  и  - любые числа;

5) тогда и только тогда, когда векторы  и  перпендикулярны или один из них равен нулю;

6) ;

7) для декартовой системы координат справедливо следующее свойство: если  и , то

.

Введем для определенности обозначения: пусть координаты векторов   и . С помощью скалярного произведения решаются следующие задачи:

1. определение длины вектора:

а) для декартового базиса: ;

б) для любого базиса: .

2. определение расстояния между точками  и :

 по вышеприведенным формулам (в зависимости от базиса).

3. определение проекции одного вектора на направление другого:

4. определение косинуса угла между векторами:

5. определение для декартового базиса косинусов углов, образуемых вектором с осями координат:

,

 где  – угол вектора с осью ,  – угол вектора с осью ,  – угол вектора с осью .

Пример 1.4. Найти , если , , .

Решение: 1) По определению скалярного произведения имеем: , где ; 2) подставим исходные данные в формулу:

.

Ответ: .

Пример 1.5. Найти , если известны его координаты в декартовой системе координат: .

Решение: Для нахождения длины вектора в декартовых координатах применим формулу: . Подставим исходные данные:

.

Ответ: .

Определители 2-го и 3-го порядка

Определение 1.13 Таблица, составленная из четырех элементов, выстроенных в два ряда и два столбца: , называется квадратной матрицей второго порядка.

Пара элементов матрицы  и  образуют первую строку матрицы , соответственно, пара  и  – вторую строку. Пара элементов  и  образуют первый столбец, пара  и  - второй столбец матрицы . Число строк и столбцов матрицы называется ее порядком.

Определение 1.14. Матрицей третьего порядка называется таблица, составленная из девяти элементов : . Элементы  образуют главную диагональ матрицы, элементы   - побочную диагональ матрицы.

Определение 1.15. Определителем матрицы второго порядка называется число: , определяемое как разность между результатом умножения элементов главной диагонали и результатом умножения элементов побочной диагонали: .

Определение 1.16. Определителем матрицы третьего порядка называется число, определяемое по формуле:

.

Это выражение называется разложением определителя по элементам первой строки.

Можно сосчитать определители второго порядка, и тогда формула примет вид:

.

Пример 1.6. Вычислить определитель матрицы 2-го порядка: .

Решение: По формуле для вычисления определителя имеем: .

Ответ: 16.

Пример 1.7. Вычислить определитель матрицы 3-го порядка: .

Решение: По формуле вычисления определителя матрицы 3-го порядка имеем:

.

Ответ: 40.

Примеры решения типовых задач по математике