Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Решение систем линейных уравнений

Определители используются при решении систем линейных уравнений. Произвольная система линейных уравнений имеет вид:

,

 

( 4.1 )

где ,  – натуральные числа. Числа   называются коэффициентами системы, а числа    – свободными членами. Числа   и  являются заданными.  называются неизвестными. Необходимо определить их значения.

Криволинейные и поверхностные интегралы

Определение 4.1. Решением системы ( 4.1 ) называется всякая совокупность чисел , подстановка которых в исходную систему вместо соответствующих неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество.

Определение 4.2. Две системы линейных уравнений называются тождественными, если решение первой системы является решением второй и наоборот.

Определение 4.3. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Определение 4.4. Система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения - неопределенной.

Определение 4.5. Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных   называется основной, а матрица, полученная добавлением к основной матрице столбца свободных членов , называется расширенной матрицей системы ( 4.1 ). Критерий совместности для системы уравнений ( 4.1 ) определяет следующая теорема.

Теорема 4.1 (Теорема Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной.

Определение 4.6. Система, в которой все свободные члены равны нулю, называется однородной. Если хотя бы один из свободных членов не равен нулю, то система называется неоднородной.

Однородная система всегда совместна (имеет единственное решение), так как для нее .

Рассмотрим существующие методы решения систем линейных уравнений.

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

Рассмотрим систему линейных уравнений с двумя неизвестными  и : , где , , ,  – коэффициенты при неизвестных; ,  – свободные члены.

Как известно из школьного курса, подобные системы решаются методом исключения, например, умножим первое уравнение на , второе на  и вычтем второе из первого, таким образом, избавляемся от второго неизвестного:

,

 

(4.2 )

откуда . Аналогично определяется и второе неизвестное:

,

 

( 4.3 )

откуда . Введем три определителя:

, , .

Определитель  составлен из коэффициентов при неизвестных; определитель  получается из  заменой первого столбца на столбец свободных членов; определитель  – аналогичной заменой второго столбца. Тогда равенства (4.2 ) и ( 4.3 ) можно переписать в виде: , . Рассмотрим возможные случаи:

1) . В этом случае система имеет единственное решение:

  и .

Это решение известно как правило Крамера.

2) . В этом случае имеются две возможности:

а)  и тогда система имеет бесконечное множество решений;

б)  или , тогда система не имеет решений, так как одно из равенств противоречиво.

Система  линейных уравнений с  неизвестными

Точно так же можно исследовать решение системы, содержащей  линейных уравнений с  неизвестными:

Введем обозначения: неизвестные обозначим вектором ; коэффициенты при неизвестных – матрицей ; правые части – как вектор :

, ,

тогда система перепишется в виде: .

Главным определителем этой системы является определитель  матрицы : . Кроме него можно составить еще  определителей по правилу: определитель  получается из определителя   заменой -того столбца на столбец  правых частей уравнений . Для системы -ого порядка справедлив тот же закон, что и для системы двух уравнений.

Правило Крамера

Если , система  имеет единственное решение:

, , …, .

 

( 4.4 )

Если , а хотя бы один из определителей , где , не равен нулю, то система не имеет решений.

Если , то система имеет бесконечно много решений.

Для системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных, имеет место утверждение: такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ее главный определитель отличен от нуля.

Матричный метод

Пусть дано матричное уравнение: , где  и  - заданные матрицы, причем матрица  – невырожденная. Требуется найти матрицу .

Матричный метод решения состоит в следующем: так как матрица   – невырожденная, то существует обратная матрица . Если умножить слева обе части первого из рассматриваемых уравнений на : , так как , то

.

 

( 4.5 )

Аналогично, рассуждаем при поиске решения матричного уравнения вида

.

Умножаем справа обе части уравнения на матрицу , обратную к матрице , получаем формулу:

.

( 4.6 )

Метод Гаусса-Жордано

Данный метод еще называют методом исключения неизвестных. Суть его состоит в том, что исходную матрицу преобразуют по строкам так, чтобы обнулить коэффициенты при неизвестных, и привести матрицу к треугольному виду.

Пример 4.12. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера, матричным методом и методом Гаусса-Жордано:

.

Решение (правило Крамера). Согласно правилу Крамера нужно составить определители системы и соответствующие каждому неизвестному. И затем по формуле ( 4.4 ) найти решение.

Найдем определитель системы:

.

Найдем определители для каждого неизвестного, заменяя столбец коэффициентов при этом неизвестном, столбцом свободных членов:

;

.

.

Теперь по формуле ( 4.4 ) определим значения неизвестных:

; ; .

Ответ: ; ; .

Решение (матричным методом):

Введем обозначения:

; ; ,

тогда исходную систему можно переписать в виде: .

Решение такой системы определяется по формуле ( 4.5 ), в которую входит матрица обратная к исходной . Найдем ее:

определитель исходной матрицы мы уже находили, он равен: ;

транспонируем исходную матрицу: ;

для каждого элемента транспонированной матрицы нужно найти алгебраические дополнения:

; ; ; ; ; ; ; ; .

записать их в транспонированную матрицу вместо ее элементов и разделить каждый элемент на определитель исходной матрицы:

.

Подставляем в формулу ( 4.5 ):

.

Ответ: .

Решение (методом Гаусса-Жордано):

Составляем расширенную матрицу системы и преобразуем к треугольному виду. Умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. Затем умножим элементы второй строки на 3 и сложим с соответствующими элементами третьей строки:

получили треугольную матрицу, которая соответствует системе:

.

Ответ: ; ; .

Произвольная система линейных уравнений

Вернемся к произвольной системе линейных уравнений вида ( 4.1 ).

Утверждение 4.1. Совместная система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда  (числу неизвестных).

Утверждение 4.2. Система линейных уравнений неопределенна тогда и только тогда, когда .

Нахождение решения для таких систем можно описать следующим алгоритмом:

Находим ранги основной и расширенной матриц системы. Если они не равны, то по теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

Если ранги равны, то выделяем базисный минор. При этом, неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор, составят группу зависимых переменных, остальные – группу независимых (вообще говоря, выбор зависимых и независимых неизвестных может быть неоднозначным).

Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора (их можно получить из него).

Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, переносятся в правую часть (для матрицы – это означает изменение знака соответствующего коэффициента). В результате получится система из  уравнений, содержащая  неизвестных, причем ее определитель отличен от нуля.

Решая полученную систему одним из способов, предложенных выше, получаем общее решение системы, в котором зависимые неизвестные будут выражены через свободные.

Если известны некоторые значения свободных переменных, то, подставляя их в общее решение, можно получить одно из частных решений системы.

Пример 4.14. Исследовать совместность и найти общее решение и одно из частных решений системы линейных уравнений:

.

Решение. Выпишем основную и расширенную матрицы системы, пометив сверху столбцы соответствующими неизвестными. Если мы найдем ранг расширенной матрицы, то тем самым найдем и ранг основной матрицы. Переставим 4-ый столбец перед первым, при этом система уравнений не изменится.

.

Приведем матрицу к треугольному виду. Напомним, что преобразования можно осуществлять только со строками. Умножим первую строку на (-2) и сложим со второй строкой. Умножим первую строку на (-7) и сложим с третьей строкой, при этом первая остается без изменения:

{Вторая и третья строки – пропорциональны, следовательно, можно вычеркнуть, например, третью строку без изменения значения определителя матрицы} /

Найдем наивысший минор, принадлежащий и основной и расширенной матрице: . Возьмем данный минор как базисный. В него вошли коэффициенты при неизвестных  и  – следовательно, это зависимые переменные, а независимыми остались переменные  и . Отсюда можно записать общее решение системы, для чего нужно перенести коэффициенты при свободных переменных в правую часть системы:

;

Для вычисления частного решения зададим значения свободным переменным: ,  , откуда , .

Проверка: подставим найденное частное решение в исходную систему:

.

Ответ: общее решение системы: , одно из частных решений: , , , .

Системы линейных однородных уравнений

Определение 4.7. Система линейных уравнений вида:

,

 

( 4.7 )

называется однородной системой линейных уравнений, где .

Однородная система всегда имеет одно решение , которое называется тривиальным. Условия существования нетривиальных решений определяется следующими теоремами.

Теорема 4.2. Система однородных линейных уравнений имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа неизвестных.

Теорема 4.3. В случае  система ( 4.7 ) имеет нетривиальное решение только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Теорема 4.4. Любая линейная комбинация решений системы ( 4.7 ) также является решением этой системы.

Определение 4.8. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений, если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.

Теорема 4.5. Если ранг  матрицы системы ( 4.7 ) меньше числа неизвестных , то существует фундаментальная система решений, состоящая из  решений.

Пример 4.15. Найти общее решение и одну из фундаментальных систем решений для следующей системы однородных уравнений:

.

Решение: 1) Найдем ранг матрицы. Не забываем, что преобразования можно проводить только со строками: {Преобразуем матрицу: умножим первую строку на (-3) и сложим со второй строкой, затем умножим первую строку на (-4) и сложим с третьей строкой, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с четвертой строкой}

{Вторая и четвертая, а также вторая и четвертая строки пропорциональны. Следовательно, третью и четвертую строки можно удалить}, откуда .

2) За базисный минор возьмем определитель . Он имеет наивысший порядок и отличен от нуля. В базисный минор вошли коэффициенты при переменных  и , они составят группу зависимых переменных, следовательно,  и  составят группу свободных переменных.

3) Выразим зависимые переменные через свободные, таким образом, найдем общее решение системы: .

Во втором уравнении умножим все коэффициенты на (-1) и подставим значение   из второго уравнения в первое, получим выражения . 4) Найдем фундаментальную систему решений. Она состоит из  решений, которые должны быть линейно независимыми. Самый простой способ составить линейно независимые строки в матрице решения это следующий: свободным переменным придают значения из строк определителя -го порядка, отличного от нуля. Затем подставляют эти значения в выражения общего решения и определяют значения зависимых переменных. Простейшим определителем 2-го порядка, отличным от нуля является . Подставим первый набор значений свободных переменных в решение: , затем второй: . Откуда получаем фундаментальную систему решений: . Ответ: общее решение системы: ; фундаментальная система решений: .

Примеры решения типовых задач по математике