Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Пример выполнения контрольной работы

Задание 1. Определить скалярное произведение  векторов, если , , , , .

Решение: Подставим в скалярное произведение выражения векторов через их базисы: , по свойствам скалярного произведения, имеем:

. Ответ: .

Задание 2. Вычислить , если , , , .

Решение: Исходные вектора заданы через аффинный базис, поэтому, запишем их векторное произведение через соответствующие базисные вектора: {используя свойства векторного произведения, имеем} . Ответ: .

Задание 3. Определить смешанное произведение , если , ,

Решение: Так как векторы заданы в декартовом базисе, то смешанное произведение находится по формуле:

.

Ответ: .

Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки   и .

Решение: Обозначим точку с координатами  как , а точку с координатами  как , тогда каноническое уравнение прямой, проходящей через данные точки запишется в виде: .

Преобразуем полученное уравнение:  .

Ответ: .

Задание 5. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точку   параллельно оси  и перпендикулярно к плоскости .

Решение: Обозначим нормаль плоскости  как , а нормаль искомой плоскости как . Так как искомая плоскость по условию задачи перпендикулярна плоскости , то их нормали будут также перпендикулярны .

Возьмем на оси  единичный вектор . По условию искомая плоскость параллельна оси , значит, ее нормаль и единичный вектор будут перпендикулярны .

По определению векторного произведения имеем:

, откуда .

Подставим в общее уравнение плоскости координаты ее точки и нормали, получаем:  или .

Ответ: .

Задание 6. Вывести общее уравнение плоскости, проходящей через точку   параллельно векторам  и .

Решение: Пусть нормаль искомой плоскости есть . По условию задачи искомая плоскость параллельна заданным векторам, следовательно, ее нормаль перпендикулярна к ним:  и , и откуда следует, что нормаль есть их векторное произведение:

, , откуда координаты нормали: . Подставим найденные координаты нормали и координаты фиксированной точки  в общее уравнение плоскости, получим: , или .

Ответ: .

Задание 7. Для гиперболы  найти действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет.

Решение: Приведем исходное уравнение к каноническому виду:  или , откуда действительная полуось , мнимая полуось , эксцентриситет , координаты фокусов определяются значением величины :   и . Ответ: , , , , .

Примеры решения типовых задач по математике