Примеры решения типовых задач Основы векторной алгебры Аналитическая геометрия Пример выполнения контрольной работы матрицы Решение систем линейных уравнений Дифференциальные уравнения Вычислить пределы Криволинейный интеграл

Основы векторной алгебры

В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.

Типовые расчеты (курсовые задания) по математике Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Основные понятия векторной алгебры

Определение 1.1. Пусть даны две точки на плоскости  и . Вектором называется направленный отрезок, идущий из точки  в точку  (Рис. 1.1). Точка  называется началом вектора, точка  – концом.

Рис.1.1. Направленный отрезок – вектор

Вектор обозначают строчной латинской буквой со стрелкой –  или прописными буквами, обозначающими начало и конец вектора – .

Определение 1.2. Величину, не имеющую направления, называют скалярной или скаляром.

Определение 1.3. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается как  (читается как «модуль вектора а» или «модуль вектора АВ»).

Когда начало и конец вектора совпадают, то говорят о нулевом векторе, который обозначают как . Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение 1.4. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором или ортом.

Определение 1.5. Два вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых и обозначают как . Вектора называются компланарными, если они лежат в одной (или в параллельных) плоскостях (Рис. 1.2.).

Рис.1.2. Взаимное расположение коллинеарных векторов

Определение 1.6. Два вектора называют равными, если они коллениарны, одинаково направлены и их длины совпадают:  и .

Условие сонаправленности в данном определении очень важно, так как вектора, имеющие одинаковую длину, но направленные в разные стороны, уже не являются равными.

Операции над векторами

Над векторами возможны следующие операции: сложения, вычитания, умножение вектора на число.

Определение 1.7. Операции сложения, вычитания векторов и операция умножения вектора на скаляр называются линейными операциями.

Сложение векторов. Сумма двух векторов  строится как вектор, идущий от начала вектора  к концу вектора , если вектор  приложен к вектору  (Рис. 1.3).

Рис. 1.3. Сумма двух векторов

Для построения сумму двух векторов нужно («правило параллелограмма»): приложить два вектора к одной точке и достроить до параллелограмма. Диагональ параллелограмма, идущая из точки приложения векторов и есть их сумма.

Для построения суммы произвольного числа векторов нужно приложить второй вектор к концу первого, третий к концу второго и т.д., сумма находится как вектор, идущий из начала первого к концу последнего.

Свойства операции сложения векторов:

1) коммутативность

2) ассоциативность:

3) для любого вектора : .

4) для любого вектора  справедливо:

Вектор  называют противоположным вектору  и обозначают как .

Вычитание векторов. Вектор, являющийся результатом вычитания двух векторов строится также, по правилу параллелограмма, но является второй диагональю в нем (Рис.1.4):

Рис. 1.4. Вычитание векторов по правилу параллелограмма

Умножение вектора на число (скаляр). Произведением вектора  на скаляр является  вектор , удовлетворяющий условиям:

1) вектор  коллинеарен вектору ;

2) имеет длину ;

3) сонаправленный  при  и антинаправленный при .

Свойства операции умножения вектора на скаляр:

1) ненулевые векторы  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число  такое, что ;

2) умножение вектора на скаляр ассоциативно относительно умножения скаляров: ;

3) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения чисел: ;

4) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов: ;

5) , .

Из свойств произведения скаляра на вектор следует, в частности, что при умножении нуля на вектор получается нулевой вектор .

Свойства операций над векторами позволяют обращаться с ними, как с обычными числами: переносить их из одной части равенства в другую с противоположным знаком, делить обе части на ненулевое число, приводить подобные члены и т.п.

Пример 1.1:

Решить уравнение  относительно :

Решение: Переносим  в правую часть уравнения: ; делим правую и левую части на коэффициент при , равный 2. Получаем решение в виде: .

Ответ: .

Базис и разложение векторов

Определение 1.8. Линейной комбинацией векторов  называется вектор , а числа  - коэффициентами линейной комбинации.

Определение 1.9. Совокупность векторов  называется линейно независимой, если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что ; если же для заданных векторов равенство выполняется только тогда, когда все  , то вектора  называют линейно зависимыми.

Теорема 1.1. Пусть даны два ненулевых и неколлениарных вектора   и . Тогда любой вектор  можно представить в виде:   и притом, единственным образом.

Такое представление вектора называют разложением вектора по базису, набор  – базисом, а коэффициенты при базисе:  – координатами разложения.

С базисом на плоскости можно связать систему координат. Для этого на плоскости зафиксируется начало координат – точку О и тогда каждой точке А на плоскости соответствует вектор , который называется радиус-вектором точки. Координаты радиуса-вектора при разложении по базису  называются координатами точки в построенной системе координат: .

Самая распространенная система координат образуется двумя взаимно перпендикулярными векторами , длина которых равна единице: . Такая система координат называется декартовой прямоугольной системой координат.

Обычно векторы декартового базиса обозначают как , а координаты вектора  относительно декартова базиса как .

В декартовой системе координат справедливо свойство: длина вектора   равна: .

Кроме декартовой системы координат существует полярная и криволинейная система координат.

В общем случае введенный в пространстве базис называют аффинным, и, соответственно, систему координат, состоящую из произвольной точки  и векторного аффинного базиса пространства называют аффинной системой координат этого пространства. Точка   - начало аффинной системы координат.

Для любой системы координат (не только декартовой) справедливы следующие свойства:

1) линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их соответствующими координатами;

2) координаты вектора равны разностям соответствующих координат его начала и конца;

3) векторы  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

Пример 1.2.

Даны два вектора  и . Доказать, что они могут быть базисом.

Решение:

По определению вектора могут быть базисом, если они ненулевые и неколлениарны, поэтому для доказательства нужно проверить выполнение 3 свойства – соотношение координат векторов не должно быть равным.

  равенство неверно, значит, вектора и  неколлениарны.

Ответ: вектора  и  являются базисом.

Пример 1.3.

Разложить по базису  и  вектор .

Решение: Обозначим координаты вектора  как ; тогда разложение вектора  по базису  и  можно записать по формуле: . Согласно свойству 1, операции над векторами можно заменить операциями над их координатами; подставим координаты в уравнение, получаем следующую систему: . Решив эту систему, получаем

Ответ: .

Примеры решения типовых задач по математике