Технический рисунок Контрольная работа по инженерной графике Метод вращения курс начертательной геометрии Гранные поверхности Пересечение поверхности вращения плоскостью Способы проецирования МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Начертательная геометрия и инженерная графика Задачи контрольной работы

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ВЗАИМНОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Общие положения

 Для построения линии взаимного пересечения двух кривых поверхностей пользуются методом вспомогательных секущих плоскостей.

В качестве этих поверхностей используются не только плоскости, но в некоторых случаях сферы и другие поверхности.

 Вспомогательные поверхности выбирают таким образом, чтобы с данными поверхностями они пересекались по линиям, легко определяемыми на чертеже. Желательно, с этой точки зрения, чтобы эти линии получались прямыми или окружностями, что позволяет строить их только с помощью линейки и циркуля.

  При изображении линии взаимного пересечения кривых поверхностей необходимо определять видимые и невидимые ее части, а также исследовать вопрос о видимости очерковых и других линий контуров данных поверхностей.

 В общем случае, случае врезки, линия пересечения представляет собой плавную кривую, которая может распадаться на две части или более(случай проницания).

 Порядок линии пересечения равен произведению порядков двух кривых поверхностей, участвующих в пересечении.

  Точки опорные и промежуточные определяются при помощи способа вспомогательных поверхностей.

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ

 Используется в качестве основного способа при построении линии пересечения двух кривых поверхностей Ф и Y.

 

Алгоритм:

S Ç Ф Ù S Ç Y.

S Ç Ф = m Ù S Ç Y = n.

m Ç n = 1 Ù m Ç n = 2.

Требования к выбору секущих плоскостей:

- любая секущая плоскость должна пересекать каждую из поверхностей по линиям, проекции которых были бы графически простыми (отрезками прямых или дугами окружностей).

Рис. 72 - Пространственная модель

Рассмотрим пример. Построить линию пересечения двух кривых поверхностей вращения: конуса Ф и полусферы Y, (рис. 73).

Рис. 73 - Комплексный чертеж

Анализ:

Случай врезки.

линия пересечения – пространственная кривая 4-го порядка.

Используем способ вспомогательных секущих плоскостей.

Алгоритм решения:

Алгоритм способа решения приведен на рис. 72.

Плоскость S ççП2 пересекает поверхности по главным меридианам q, q¢ и дает экстремальную точку А (она же очерковая на П2).

Плоскость Г ççП1 пересекает поверхности по горизонтальным очеркам и дает очерковые на П1 точки В и В¢.

Плоскости Г¢ççП1 и Г¢¢ççП1 пересекают поверхности по окружностям и дают соответственно экстремальные и промежуточные точки.

Рис. 74 - Построение линии пересечения

Построение:

Плоскость S ççП2: S Ç Ф = q; S Ç Y = q¢

На П2 ® q2 Ç q2¢= А2

На П1 ® А1 Ì S1

Плоскость Г ççП1: Г Ç Ф = m Ù Г Ç Y = n

На П1 ® m1 Ç n1 = В1, В1¢

Аналогично определяем горизонтальные проекции точек С и С¢ при помощи плоскости Г¢

Аналогично определяем горизонтальные проекции точек D и D¢ при помощи плоскости Г¢¢

8. Аналогично определяем горизонтальные проекции точек Е и Е¢ при помощи плоскости Г¢¢¢

9. Определяем фронтальные проекции точек по принадлежности плоскостям Г, Г¢, Г¢¢, Г¢¢¢

10. Строим горизонтальную и фронтальную проекции линии пересечения

11. Определяем видимость проекций линии пересечения: на П1 по плоскости Г, на П2 – по плоскости S.

 Симметричные точки линии пересечения на рис. 74 не показаны.

СООСНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

 

 Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось.

Теоретические положения:

У соосных поверхностей вращения Ф и Ф¢ меридианы m и n , расположенные в одной осевой плоскости S (S É i) пересекаются в некоторых точках, например, в точке А.

Так как m и n вращаются вокруг оси i, то точка А описывает окружность р радиуса R = OA в плоскости Г(Г ^ i).

 3. Так как р Ì Ф Ù р Ì Ф¢, то окружность р
является линией пересечения поверхностей Ф и Ф¢.

Рис. 75 - Пространственная модель

 Вывод: соосные поверхности вращения всегда пересекаются по окружности.

7.3.1. Примеры соосных поверхностей вращения

 Рис. 76 - Примеры пересечения

Меридианы m и n поверхностей, расположенные в одной осевой плоскости (S), пересекаются в некоторых точках А и С.

Точки пересечения меридианов при их вращении описывают окружности, принадлежащие обеим поверхностям и являющиеся линиями их пересечения.

Число окружностей при пересечении поверхностей равно числу точек пересечения их меридианов m и n, расположенных по одну сторону от оси вращения i. соосных поверхностей вращения


7.3.2. Примеры соосных поверхностей вращения,
одна из которых сфера

 Особое место при пересечении соосных поверхностей вращения отводится сферам, свойства которых используются в дальнейшем при построении линии пересечения кривых поверхностей.

Сфера имеет бесчисленное множество осей вращения

Все оси вращения сферы проходят через ее центр

Если одной из двух соосных поверхностей вращения является сфера, то ее центр располагается на оси другой поверхности.

Рис. 77 - Примеры пересечения

соосных поверхностей вращения,

одна из которых сфера

7.3.3. Пересечение соосных поверхностей вращения
в элементах конструкций

Рис. 78 - Пересечение соосных поверхностей вращения в элементах конструкций


СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР

 Для построения линии пересечения поверхностей вращения, имеющих круговые сечения, в ряде случаев в качестве вспомогательных поверхностей целесообразно использовать сферы.

 Разновидности способа включают в себя: способ концентрических сфер и способ эксцентрических сфер.

Способ концентрических сфер применяется, если:

- оси поверхностей пересекаются;

- есть общая плоскость симметрии;

- если способ вспомогательных секущих плоскостей не дает простого решения.

  Способ эксцентрических сфер применяется, если:

- оси поверхностей скрещиваются;

- есть общая плоскость симметрии;

- каждая из поверхностей имеет семейство круговых сечений;

- если способ вспомогательных секущих плоскостей не дает простого решения.

 В данном курсе лекций мы рассмотрим только способ концентрических сфер.

Рис. 79 - Пространственная иллюстрация способа вспомогательных сфер


7.4.1. СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР

 Обоснование способа заключается в свойстве сферы пересекаться по окружностям с соосными с ней поверхностями вращения.

Рис. 80 - Обоснование способа концентрических сфер

 

 Геометрическим местом центров (О, О¢, …) сфер (R, R¢, ….), дающих круговые сечения (m, m¢, …, n, n¢, …) одновременно с каждой из пересекающихся поверхностей вращения (Ф, Y, …), является точка пересечения их осей (i, j, …), рис.80.

7.4.2. АЛГОРИТМ СПОСОБА КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР

 Сфера радиуса Ri с центром в точке О пересечения осей i и j двух поверхностей вращения Ф и Y будет сосна с каждой из этих поверхностей и пересечет их по окружностям m и n. Точки 1 и 2 пересечения последних общие для обеих поверхностей, а значит, принадлежат линии их пересечения.

 

Рис. 81 - Алгоритм применения способа концентрических сфер


Алгоритм:

Сфера Q(О = i Ç j, Ri)

Q Ç Ф = m – окружность

 Q Ç Y = n – окружность

m Ç n = 1 Ù 2

Rmin < R < Rmax

Rmin – радиус сферы вписанной в большую поверхность;

Rmax – расстояние от проекции центра сферы до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих.

Рассмотрим пример. Построить линию пересечения двух поверхностей вращения: конуса Ф и наклонного цилиндра Y.

Анализ:

Случай врезки.

Линия пересечения – замкнутая пространственная кривая 4-го порядка.

 Применение вспомогательных секущих плоскостей не дает графически простого решения, за исключением общей плоскости симметрии S (S ççП2).

Плоскость S пересекает поверхности по главным меридианам q, q¢и дает экстремальные точки А и В, одновременно являющиеся очерковыми на П2(q Ç q¢= А Ù В).

Промежуточные точки удобно определять «способом концентрических сфер» ( О = i Ç j ).

Рис. 82 - Анализ задачи на построение линии пересечения двух поверхностей

 Алгоритм решения такого типа задачи приведен на рис. 81.

Рис. 83 - Построение линии пересечения поверхностей

 Построение:

Плоскость S: определяем точки А и В.

Сфера Q (Rmin вписана в конус).

Q Ç Ф = m Ù Q Ç Y = n.

m2 Ç n2 = С2 Ù С2¢.

Сфера Q¢¢(Rпр).

Q¢¢ Ç Ф = m¢ Ù m¢¢;Q¢¢ Ç Y = n¢.

m2¢ Ç n2¢ = D2 Ù D2¢.

m2¢¢ Ç n2¢ = E2 Ù E2¢.

Строим фронтальную проекцию линии пересечения (видимость по плоскости S).

Определяем точки смены видимости линии пересечения относительно П1: F = d Ç b Ù F¢ = d Ç b¢.

 10. Определяем горизонтальные проекции точек линии пересечения по
принадлежности к Ф.

11. Строим горизонтальную проекцию линии пересечения с учетом видимости.

 

 Симметричные точки линии пересечения на горизонтальной проекции не обозначены.


ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ:

Что представляет собой линия пересечения двух кривых поверхностей в случае врезки и в случае проницания?

Как определить порядок линии пересечения двух кривых поверхностей?

Какой способ используется в качестве основного при построении линии пересечения двух кривых поверхностей?

Как должны проводиться вспомогательные секущие плоскости на комплексном чертеже при построении линии пересечения двух кривых поверхностей?

Какие поверхности называются соосными?

Что представляет собой линия пересечения двух соосных поверхностей вращения?

В каких случаях при решении задач на построение линии пересечения поверхностей можно применять вспомогательные сферы?

Что является теоретическим обоснованием способа вспомогательных концентрических сфер?

Как определить на комплексном чертеже центр вспомогательных концентрических сфер?

Как определить на комплексном чертеже вспомогательные концентрические сферы минимального и максимального радиуса?

Если секущая плоскость совпадает с плоскостью симметрии предмета, а соответствующее изображение располагается на од ном и том же листе в непосредственной проекционной связи, то разрез не обозначается.

В зависимости от положения секущей плоскости относительно горизонтальной плоскости проекций разрезы бывают горизон тальными, вертикальными и наклонными. В зависимости от по ложения секущей плоскости относительно изображаемого пред мета разрезы бывают продольными и поперечными.

Горизонтальный разрез — разрез, выполненный секущими плоскостями параллельными горизонтальной плоскости проек ций. На рис. 8, 9 разрез А—А. На чертеже горизонтальный разрез располагается на месте вида сверху или снизу.

Вертикальный разрез — разрез, полученный секущей плоско стью, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций. На рис. 9 разрезы Б—Б и В—В. Вертикальный разрез изображают на главном виде (виде спереди) или на виде сбоку (виде слева или справа). В зависимости от расположения вертикальной плоскости различают разрезы фронтальный и профильный.

Фронтальный разрез — вертикальный разрез, у которого се кущая плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций. На рис. 9 разрез Б—Б. На чертеже фронтальный разрез изобра жают на месте главного вида или вида сзади.

Профильный разрез — вертикальный разрез, у которого секу щая плоскость параллельна профильной плоскости проекций. На рис. 9 разрез В—В. При изображении на чертеже профиль ный разрез располагается на видах слева или справа.

Наклонный разрез — разрез, полученный секущей плоскостью, составляющей с горизонтальной плоскостью проекций угол, от личный от прямого. На рис. 10 разрез Б—Б.

Продольный разрез — разрез, полученный секущей плоскостью, направленной вдоль длины или высоты предмета (рис. 11,а, б).

Поперечный разрез — разрез, полученный секущей плоско стью, которая перпендикулярна длине или высоте предмета (из делия). На рис. 11 разрезы Б—Б и А—А.

Разрез называют простым, если он получен одной секущей плоскостью (разрезы на рис. 9).


ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИХ РЕШЕНИЮ