Технический рисунок Контрольная работа по инженерной графике Метод вращения курс начертательной геометрии Гранные поверхности Пересечение поверхности вращения плоскостью Способы проецирования МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Начертательная геометрия и инженерная графика Задачи контрольной работы

ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

Общие положения

1. Число точек пересечения соответствует порядку заданной поверхности Ф.

2. В основу построения положен способ вспомогательных поверхностей

3. В качестве вспомогательных поверхностей обычно выбирают плоскости S, проходящие через заданную прямую n.

4. Плоскость S должна пересекать Ф по линии d, проекции которой были бы графически простыми (дуга окружности или прямая).

5. Видимость проекций прямой n по видимости проекций поверхности.

Рис. 62 - Пересечение прямой с поверхностью

Алгоритм построения: - S É n;

- S Ç F = d;

- 1, 2 = d Ç n. 

6.2. Построение точек пересечения прямой с
поверхностью многогранника

 Поверхность многогранника представляет собой совокупность пересекающихся плоскостей. Поэтому решение данной задачи, по существу, является двукратным определением точки пересечения прямой линии с плоскостью (см. раздел 3.2, рис.35).

Схема решения выглядит так:

- плоскость S, проходящая через прямую n, пересечет многогранник по плоской замкнутой ломаной линии 1-2-3-1;

- искомые точки M и N есть результат пересечения линии 1-2-3-1 с прямой n.

Алгоритм решения задачи:

S É n, S - проецирующая плоскость.

S Ç F = ( 1-2-3-1).

3. М =(1-2-3-1) Ç n = F Ç n,

N = ( 1-2-3-1) Ç n = F Ç n.

Рис.63 - Определение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника (пространственный пример)

 Рассмотрим пример: Определить точки М и N пересечения прямой общего положения n с поверхностью Ф пирамиды SABC.

 Построение:

Через прямую n проводим горизонтально проецирующую плоскость S.

Определяем горизонтальную проекцию ломаной: S1 Ç Ф1 = (11 – 21 – 31- 11).

Определяем фронтальные проекции вершин ломаной: 12 Ì А2 В2, 22 Ì S2B2, 32 Ì B2C2.

Строим фронтальную проекцию ломаной: 12 – 22 – 32- 12.

Определяем фронтальные проекции искомых точек: (12 – 22 – 32- 12) Ç n2 = М2 Ù N2.

Определяем горизонтальные проекции точек: М1 Ì n1 Ù N1 Ì n1.

Определяем видимость проекций прямой n по dидимости проекций граней пирамиды.

Рис.64 - Определение точек пересечения прямой n с поверхностью пирамиды

6.3. Построение точек пересечения прямой
с поверхностью цилиндра

 На рис. 65 и 66 построены точки пересечения поверхности эллиптического цилиндра a с прямой линией m.

 Через прямую m проведена плоскость w , пересекающая цилиндрическую поверхность по образующим. Для этого, как известно, плоскость должна быть параллельна образующим (или оси) цилиндра. На рисунках она определена прямой m и прямой а, проходящей через некоторую точку А прямой m и параллельно оси цилиндра:

Рис. 65 - Пространственная модель

w = ( m Ç a = А ).

 Другие плоскости, в частности проецирующие, проходящие через прямую m, дадут в сечении цилиндра более сложные кривые линии.

 Для построения линии пересечения плоскости w и цилиндрической поверхности, т.е. двух образующих цилиндра, должна быть проведена вспомогательная секущая плоскость. В качестве нее выбрана плоскость s основания цилиндра, что позволяет не строить линию пересечения этой плоскости с цилиндрической поверхностью, так как она уже начерчена – это кривая линия основания k.

 Плоскость s пересекается с плоскостью w по прямой 1 – 2. На рис. 66 эта линия очевидна, так как плоскость

s - проецирующая. В случае, если прямая m пересекается с плоскостью s за пределами чертежа, точку (1) находят с помощью какой-либо дополнительной прямой, например (b), взятой в плоскости w, (рис. 65). Точки L1 и L2 пересечения линий k и (1 – 2) принадлежат образующим l1 и l2 сечения цилиндра плоскостью w:

w Ç a = (l1 , l2).

Рис. 66 - Комплексный чертеж

 Точки М1 и М2 пересечения этих образующих с прямой m являются искомыми:

М1 = l1 Ç m, М2 = l2 Ç m.

 Отрезок М1 - М2 прямой линии m находится внутри цилиндра и изображен поэтому линией невидимого контура. На рис. 65 слева от точки М1 прямая m видна, так как эта точка лежит на видимой стороне поверхности цилиндра. Часть линии m справа от точки М2 остается невидимой, так как точка М2 лежит на невидимой стороне поверхности a . Аналогично решается вопрос видимости на каждой проекции, рис. 66. Для уточнения видимости плохо различимого участка прямой m элемент I этого чертежа показан в более крупном масштабе.

6.4. Построение точек пересечения прямой с поверхностью конуса

Рис. 67 - Пространственная модель

Схема решения задачи:

Плоскость S, проходящая через прямую n, пересечет конус по линии d.

Искомые точки M и N – результат пересечения линии d с прямой n.

 Алгоритм решения:

S É n

S Ç F = d

М Ù N = d Ç n

 Если заключение прямой в проецирующую плоскость не приводит к простому решению, то используют плоскость общего положения, проходящую через прямую и вершину конуса, и пересекающую поверхность конуса по образующим.

 Рассмотрим пример. Определить точки М и N пересечения прямой общего положения n с поверхностью F конуса вращения, (рис. 68).

Построение:

Через прямую n и вершину S конуса F проводим плоскость общего положения S: S( n Ç m); m Ì S.

S Ç Г = (2 – 3), (плоскость основания F).

(2 – 3) Ç р = (4, 5).

S Ç Ф = (4 – S – 5).

(4 – S – 5) Ç n = М, N.

Определяем видимость прямой n по видимости проекций поверхности конуса.

Рис. 68 - Определение точки пересечения прямой с поверхностью конуса

6.5. Построение точек пересечения прямой со сферой

Рис. 69 - Пространственная модель

Схема решения задачи:

Построение осуществляют по алгоритму 1-ой позиционной задачи.

Плоскость S, проходящая через прямую n , пересечет сферу по окружности d.

 Искомые точки М и N – результат пересечения окружности d с прямой n.

 

  Если заключение прямой в проецирующую плоскость не приводит к простому решению, то применяют один из способов преобразования чертежа, чтобы проекции линии пересечения сферы с введенной плоскостью были бы графически простыми (дуга окружности или прямая).

Рис. 70 - Комплексный чертеж

 Рассмотрим пример: Определить точки М и N пересечения фронтали f(AB) со сферой Ф, (рис. 70).

Анализ решения:

 - окружность d(R) сечения сферы Ф плоскостью S ççП2 , проходящей через f, спроецируется на П2 без искажения.

 Построение: 

Через прямую f проводим фронтальную плоскость уровня S: S ççП2 .

Определяем фронтальную проекцию окружности: S Ç f = d(R) .

Определяем фронтальные проекции искомых точек: М2 Ù N2 = d2 Ç f2(А2 В2).

Определяем горизонтальные проекции точек: М1 Ù N1 Ì f1(А1 В1).

Определяем видимость проекций фронтали f(AB) по видимости проекций сферы Ф.

 Решим задачу: Определить точки М и N пересечения прямой общего положения d(AB) со сферой Ф, (рис. 71).

 Построение:

1. Способом замены плоскостей проекций преобразуем прямую a в линию уровня:

- на П4 линия сечения сферы плоскостью(а Ì S ççП4 ) спроецируется в окружность;

- в системе плоскостей П1/ П4 эта задача эквивалентна предыдущему примеру, рис.70.

2. Находим проекции точек:

d4 Ç а4= М4, N4.

3. Обратным преобразованием определяем проекции точек М1 и N1, а затем – М2 и N2.

Рис. 71. Комплексный чертеж

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ:

В чем заключается способ нахождения точек пересечения многогранной поверхности с прямой линией?

 В чем заключается способ нахождения точек пересечения кривой поверхности с прямой линией?

В чем заключается общий прием построения точек пересечения прямой с поверхностью?

В каком случае при решении задач на построение точек пересечения прямой с поверхностью не используются проецирующие плоскости?

Как определить видимость проекций прямой?

Виды, полученные на основных плоскостях проекций, назы ваются основными видами, (см. рис. 3): 1 — вид спереди (главный вид); 2 — вид сверху; 3 — вид слева, 4 — вид справа, 5 — вид снизу, 6 — вид сзади.

Основные плоскости проекций совмещаются в одну плос кость вместе с полученными на них изображениями (основны ми видами), в результате чего виды оказываются расположен-

ными следующим образом (рис. 4): вид сверху — под главным видом; вид слева — справа от главного вида; вид справа — сле ва от главного вида; вид снизу — над главным видом; вид сза ди — справа от вида слева или слева от вида справа. Все основ ные виды по возможности располагают в проекционной связи с главным видом.

Главный вид — изображение на фронтальной плоскости про екций. В качестве главного выбирают вид, который наиболее пол но отражает форму и размеры детали (предмета).

Изображение на плоскости, непараллельной основным плос костям проекций, называется дополнительным видом (рис. 5, вид по стрелке А.). На чертеже дополнительный вид располагают по возможности ближе к изображаемому месту предмета. Направ ление взгляда указывается стрелкой с обозначением ее заглавной буквой русского алфавита, размер шрифта которой на 1 ... 2 но мера больше размера шрифта, которым написаны размерные числа. Размерные числа рекомендуется писать шрифтом № 3,5 или № 5 (рис. 6,а).

Дополнительный вид допускается изображать повернутым до положения, принятого на главном виде. В этом случае к обозна чению добавляется знак О "повернуто". Диаметр его равен но меру шрифта буквы, которой обозначен вид.

Изображение отдельного, ограниченного места поверхности предмета (детали) называется местным видом (рис. 5, вид по стрел ке Б). Местный вид может быть ограничен или не ограничен линией обрыва. Местный вид обозначается на чертеже подобно дополнительному.


ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИХ РЕШЕНИЮ