Технический рисунок Контрольная работа по инженерной графике Метод вращения курс начертательной геометрии Гранные поверхности Пересечение поверхности вращения плоскостью Способы проецирования МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Начертательная геометрия и инженерная графика Задачи контрольной работы

СПОСОБЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ. ТОЧКА И ПРЯМАЯ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ

Предмет начертательной геометрии. Способы проецирования

Начертательная геометрия является разделом одной из математических наук - геометрии.

Геометрия - это наука о фигурах, о взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразовании фигур. Геометрические задачи могут быть решены аналитически (посредством вычислений по соответствующим формулам, что является предметом аналитической геометрии) и графически. Так как гра­фическое решение геометрических задач выполняют на плоском чертеже, на­чальным этапом является отображение пространственных геометрических объ­ектов на плоскости, что осуществляется посредством проецирования. При про­ецировании совокупность точек пространства ставится в соответствие совокуп­ности точек на плоскости.

Есть два способа проецирования: центральное и параллельное.

Схема центрального проецирования представлена на рис. 1.

 

Рис. 1 - Центральное проецирование

Π1 - плоскость проекций (Π1 - это греческая буква "ПИ"); S - центр проекций; А, В, C и D - некоторые точки пространства.

Прямые, проходящие через центр проекций S и заданные точки, пересека­ют плоскость проекций Π1 в точках А1, В1, C1, D∞1, которые являются центральными проекциями точек А, В, C и D.

Схема параллельного проецирования представлена на рис. 2.

Рис. 2 - Параллельное проецирование

В этом случае проецирующие прямые, проходящие через точки А, В и С па­раллельно заданному направлению проецирования S пересекают плоскость Π1 в точках А1, В1, C1, которые являются параллельными проекциями точек А, В и С.

Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то оно называется ортогональным.

Рис. 3 - Ортогональное проецирование

Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов построения пространственных форм на плоскости и способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям этих форм.

Метод проецирования позволяет однозначно решить прямую задачу: по заданному оригиналу строить его проекционный чертеж. Обратная зада­ча (определение оригинала по проекции) не решается однозначно. Это проиллю­стрировано на рис. 4.

Рис. 4 - Однопроекционный чертеж

Рис. 5 - Двухпроекционный чертеж

Действительно, при заданном направлении проецирования точка А имеет единственную проекцию А1. В то же время точка А является проекцией беско­нечного количества точек, лежащих на проецирующей прямой, проходящей через точку А.

Для однозначности решения обратной задачи необходимо проецирование оригинала на две или более плоскостей, (рис.5), что было предложено выдающимся французским геометром Гаспаром Монжем (1746 - 1818), который и считается основоположником начертательной геометрии.

1.2. Инварианты ортогонального проецирования

Рис. 6.1 - Инварианты ортогонального проецирования

проекция точки всегда есть точка;

проекция прямой в общем случае – прямая;

А → А1;

MN ^ П1 Û q (MN) → q1=M1=N1

Рис. 6.2 - Инварианты ортогонального проецирования

если точка принадлежит прямой, то одноименные проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой;

точка пересечения прямых проецируется в точку пересечения их проекций;

KÎq Û K1 Î q1; (K=q ∩ m) Û (K1=q1∩ m1)

 

 

Рис. 6.3 - Инварианты ортогонального проецирования

проекция точки делит проекцию отрезка прямой в таком отношении в каком точка делит заданный отрезок;

CÎd Û C1 Îd1

AС : СВ = A1 C1 : C1 B1

Рис. 6.4 - Инварианты ортогонального проецирования

– проекции параллельных прямых есть прямые параллельные;

a 11 b Þ a1 11 b1

 

Рис.6.5 - Инварианты ортогонального проецирования

- если плоская геометрическая фигура параллельна плоскости проекций, то проекция этой фигуры на плоскость проекций соответствует самой фигуре;

Ф (ABC) 11 П1 Þ Ф1(А1В1С1) @ Ф (ABC)

Рис.6.6 - Инварианты ортогонального проецирования

- проекция геометрической фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости проекций;

П1' 11 П1 Þ Ф2(А1' В1' С1') = Ф1(А1В1С1)

1.3. Точка на комплексном чертеже

На рис. 7 представлены три взаимно перпендикулярные плоскости проекций Π1, П2, П3 и точка А в пространстве.

Рис. 7 - Наглядный чертеж

Введем следующие наименования: Π1 - горизонтальная плоскость проекций; П2 - фронтальная плоскость проекции; П3 – профильная плоскость проекций; X12 - ось проекции;

Α1, А2 и А3 – горизонтальная, фронтальная и профильная проекции точки А;

ΑΑ1 , АА2 и А А3 - проецирующие прямые.

Из построений получается, что фигура АА1Α12А2 - прямоугольник,

AA1 - высота точки А,

АА2 - глубина точки А,

А А3 – широта точки А

ΑΑ1 = А2А12 и АА2 = A1A12 , ΑΑ1 = А3А13 и ΑΑ3 = А1А13.

Теперь изображения, полученные в плоскостях Π1, П2 и П3 совместим в одну плоскость, совпадающую с П2. Для этого плоскость П1 будем вращать вокруг оси X12 до совмещения с П2, а плоскость П3 – вокруг оси Z23 и в результате получим комплексный чертеж, изобра­женный на рис. 8.


A1A2, A2A3 - линии проекционной связи . A1A2 перпендикулярна оси X12; А2А3 перпендикулярна оси Z23.

 

Рис. 8 - Комплексный чертеж точки А

1.4. Прямая на комплексном чертеже

1.4.1. Прямая общего положения на комплексном чертеже

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения.

Рис. 9 - Наглядное изображение и комплексный чертеж
прямой общего положения.

AB - оригинал (отрезок прямой d); А1- горизонтальная проекция отрезка;
А2В2 - фронтальная проекция отрезка; d1 и d2 - проекции прямой d.

1.4.2. Прямые частного положения

Прямая, параллельная одной плоскости проекций, называется прямой уровня.

Прямая, параллельная плоскости П1 называется горизонтальной прямой и обозначается h.

На рис. 10а и 10б представлены наглядный и комплексный чертеж горизонтальной прямой.

а) наглядный чертеж прямой

б) комплексный чертеж прямой

Рис. 10 - Горизонтальная прямая

Основное свойство горизонтальной прямой: h211 оси X12.

Прямая, параллельная плоскости П2, называется фронтальной прямой и обозначается f.

На рис. 11а и 11б представлены наглядный и комплексный чертеж фронтальной прямой.

 

а)

 

б)

Рис. 11 - Фронтальная прямая

 Основное свойство фронтальной прямой: f1 II оси X12.

Прямая, параллельная плоскости П3, называется профильной прямой и обозначается р.

На рис. 12а и 12б представлены наглядный и комплексный чертеж профильной прямой.

а)

б)

Рис. 12 - Профильная прямая

Прямая, параллельная  двум плоскостям проекций (перпендикулярная третьей), называется проецирующей прямой.

На рис.13а и 13б представлены наглядный и комплексный чертеж горизонтально-проецирующей прямой.

а)

б)

Рис. 13 - Горизонтально-проецирующая прямая

 

На рис.14а и 14б представлены наглядный и комплексный чертеж фронтально-проецирующей прямой.


а) б)

Рис. 14 - Фронтально-проецирующая прямая


ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ:

Что называется проекцией, проецированием и каковы основные виды проецирования?

В чем заключается метод построения комплексного чертежа точки?

Каковы законы построения третьей проекции точки по двум заданным ее проекциям?

Определяет ли одна проекция точки ее положение в пространстве?

Как определить высоту и глубину точки по ее комплексному чертежу?

Какие точки называются конкурирующими?

Как определить видимость точек по комплексному чертежу?

Какие Вы знаете инварианты ортогонального проецирования?

Как располагаются на комплексном чертеже проекции прямой общего положения?

 Какое положение по отношению к плоскостям проекций может занимать прямая? Какие прямые частного положения Вы знаете?

Параметрический подход к чтению чертежа

Чтение и деталирование чертежа общего вида опирается на умение выделять проекции отдельной детали на чертеже сборочной единицы. При этом производится анализ формы, расположение детали в изделии, взаимодействия ее с другими частями. Эти процессы обычно не регламентируются, считается, что их освоение требует производственного опыта.

Рассмотрим основные черты этих процессов с позиции параметрического подхода. С раннего возраста люди имеют контакты с предметами материального мира, о которых постепенно складываются некоторые интуитивные представления (эвристики). Назовем некоторые из них, полезные в процессе чтения чертежа.

Во-первых, все предметы имеют объем. Из этой эвристики вытекает утверждение, что очертание любого предмета представляет собой замкнутую линию. Анализируя эту линию видно, что геометрически эта область может быть либо пустой, либо содержать другие замкнутые формы: линию пересечения одной поверхности с другой; границу входа в полость (в отверстие) на предмете.

Во-вторых, поверхность предмета может иметь локальные особенности, которые при проецировании нарушают односвязность очерка. Например: ребра на поверхности предмета, фаски, проточки и т.п.

Попробуем связать эти эвристики с формой, величиной, расположением в пространстве предмета и его частей. На чертеже любое изделие описывается с помощью изображений, условных обозначений и размеров. В размеры могут входить не только числа, но и условные обозначения, и фрагменты текста.


ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИХ РЕШЕНИЮ