Определить натуральную длину отрезка Построить пересечение двух поверхностей Стадии разработки конструкторской документации изделий Изображение резьбы Пайка Склеивание Указания к выполнению задания по эскизам деталей

Начертательная геометрия и инженерная графика Задачи контрольной работы

ОСНОВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ (ЭПЮР 2)

Краткие методические указания к заданиям 5,6,7 

 На практике очень часто приходится  определять величину и форму геометрических объектов, изображенных на чертеже.  Задачи, связанные с этим, принято называть метрическими. 

 Величина и форма  геометрического объекта связана с параметрами его формы, которые на чертеже реализуются размерами. Такая реализация возможна при условии отображения на чертеже систем координат, в которых исчисляются размеры линейных протяженностей и углов. 

  Чертежи, удовлетворяющие этому условию, называются метрически определенными. Примером  является чертеж, построенный по схеме эпюра Монжа, аксонометрический чертеж и т.д. 

 Измерения геометрических элементов в пространстве базируются на оценке длин 

Например, для измерения расстояния от точки до прямой необходимо  опустить на отрезков, соединяющих пару точек, и на построении взаимноперпендикулярных фигур. прямую из точки перпендикуляр, построить его основание и оценить длину  полученного отрезка. Аналогичную технологию применяют для определения расстояния от точки до плоскости, между двумя плоскостями и т.д. 

 При решении таких  задач на чертеже следует опираться на свойства проецирования, а также учитывать  искажения фигур в процессе их отображения из пространства на плоскость проекций.  При решении таких задач на чертеже следует опираться на свойства проецирования,  а также учитывать искажения фигур в процессе их отображения из пространства на плоскость проекций. 

 При ортогональном проецировании отрезка прямой, параллельной  плоскости 

проекций, его длина не искажается. 

Не искажается также  угол наклона этого отрезка ω по отношению к плоскости П2. Отрезок АВ является  горизонталью. Аналогичные рассуждения могут быть сделаны относительно фронтали – отрезка параллельного П2. Отрезок общего положения проецируется на плоскости проекций с искажением длины. 

Это видно из рис. 6 на примере отрезка СD,  у которого отрезок С1 = С D является катетом в прямоугольном треугольнике С1D. Отрезок СD в этом треугольнике является гипотенузой, которая длиннее катета. На  рис 7 показаны треугольные отсеки АВС и DEF плоскостей, перпендикулярных одной из плоскостей проекций.

 Из геометрии известен признак перпендикулярности двух плоскостей: плоскость α перпендикулярна плоскости β, если она содержит  прямую перпендикулярную к этой плоскости. Из чертежа видно, что АВСП  так как она содержит фронталь 1,2П. 

 Заметим, что плоскость АВС при этом стала горизонтально проецирующей,  а ее проекция на П1 «выродилась» в прямую. 

 Фронталь спроецировалась в  точку, рис.7. Аналогичные рассуждения справедливы для плоскости DEFП 2 и ее горизонтали F3, рис. 7. 

 Перейдем теперь к эпюру Монжа. На рис. 8 в системе координат  OXYZ, развернутой в эпюр, показан чертеж отрезка горизонтали АВ и СD общего положения.  Проекции отрезка СD на плоскостях проекций П и П не равны по длине самому 

отрезку. Поставим задачу определения истинной длин отрезка СD по его проекциям. Используем  рис. 6, на котором показан прямоугольный треугольник CD1. В этом треугольнике отрезок СD является гипотенузой, а катетами являются отрезок С1 = С D и отрезок D1 = DD – СС . Этот треугольник можно построить, используя информацию из эпюра отрезка CD на рис. 8. Оба катета на чертеже имеются и треугольник можно построить.  На рис. 8 задача решена двумя методами. Во втором случае использована проекция C D , а также разность расстояний от концов проекции C D до оси ОХ (рис. 8). Этот  способ построения истинной величины отрезка известен как метод прямоугольного треугольника. В дальнейшем этот метод нам понадобится. 

 Построение взаимно  перпендикулярных фигур на чертеже основывается на теореме о проецировании прямого угла. 

 Прямой угол ортогонально проецируется без искажения своей величины,  если одна из его сторон параллельна плоскости проекций.

 В левой части эпюра задана горизонталь а двумя своими проекциями а ,а и точка В (ее проекции В и В ). Требуется определить истинную величину расстояния от точки В до горизонтали  а. Для начала необходимо опустить перпендикуляр из В на а. Поскольку а параллельна  П1, то прямой угол между искомым перпендикуляром и горизонталью проецируется на  П без искажения. Строим перпендикуляр из В на а 

Отмечаем основание К1.  Построение фронтальной проекции перпендикуляра ВК трудностей не составляет. Прямой  угол на проекции здесь исказился в полном соответствии с теоремой о проецировании прямого угла. Имеем две проекции искомого 

расстояния. Теперь методом прямоугольного  треугольника стоим отрезок К11, длина которого равна искомому расстоянию.

  В правой части эпюра построены проекции треугольника DEF, перпендикулярного плоскости проекций П2. Для этого в треугольнике проведена прямая, перпендикулярная П . Такой  прямой будет горизонталь F3, ее проекция F 3 ОХ.  В пространстве ось ОХ принадлежит плоскостям П и П , а горизонталь F 3 – П . В полном согласии с 

теоремой, проекция F 3 OX. 

 Рассмотренный метод прямоугольного треугольника и теорема о проецировании  прямого угла являются базовыми для формирования способов преобразования чертежа. 

 Под преобразованием чертежа будем понимать формирование на основе исходных  данных проекций объекта некоторых новых его проекций, способствующих решению конкретной задачи (в частности метрической). 

 Поскольку исходные и новые проекции являются изображениями одного и того же объекта, форма и величина последнего не  должны 

искажаться в процессе преобразования исходных проекций в новые. Такое условие выполняется в том случае, когда расстояние между парой произвольных точек объекта остается неизменным.

Но, как мы видели выше, такое условие  будет выполнено, если катет прямоугольного треугольника, формирующего расстояние между двумя точками, остается неизменным (метод прямоугольного треугольника). Выполнение этого условия обеспечивается тем, что одна из проекций преобразуемого чертежа должна оставаться неизменной по форме и величине (один из катетов). От  другой исходной проекции должны оставаться неизменными расстояния (либо разности  расстояний) от конечных точек проекций отрезков до оси, разделяющей исходные проекции. 

 На рис. 10 исходные проекции отрезка АВ, А В и А В преобразованы в проекции  того же отрезка. При этом, после преобразования фронтальная проекция А  В осталась равной исходной проекции А В , но расположена в новом положении  параллельно оси ОХ. 

Проекция А В расположилась так, что  конечные точки проекции сопряжены с соответствующими точками фронтальной проекции  линиями связи. В новом чертеже отрезок АВ расположен параллельно П и поэтому |  А В |=|АВ|. 

На чертеже рис.10 проведено еще одно преобразование, в результате которого отрезок АВ стал перпендикулярным П2. 

 Способы преобразования,  основанные на перемещениях проекций объекта относительно неподвижной системы координат,  называются способами перемещения (перемещение может быть вращением объекта в пространстве  и т.п.). Однако можно, оставляя объект неподвижным, заменять исходную систему координат, разворачивая ее каждый раз в эпюр. Такие способы называются способами замены плоскостей замены (плоскостей координат). Во всех способах остаются постоянными те условия, которые формируют способ прямоугольного треугольника. 

 Можно  считать катеты прямоугольного треугольника инвариантами любого преобразования  чертежа, сохраняющегося форму и величину объекта. 

 На рис.11, 12, 13 приведены примеры решения метрических задач с применением способов преобразования чертежа и теоремы о проецировании прямого угла. 

 На чертеже рис 11 задана плоскость  АВС и точка D. В задаче требуется построить истинное расстояние от точки D до плоскости АВС. 

 Для решения задачи построены проекции перпендикуляра из точки D на АВС. Для определения этих проекций выполнено условие теорем о проецировании  прямого угла. В плоскости АВС построены горизонталь и фронталь. Горизонтальная проекция перпендикуляра представлена как прямая, перпендикулярная горизонтальной проекции h1 горизонтали. Фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной 

проекции f2 фронтали. Для построении точки пересечения перпендикуляра с плоскостью АВС и истинной величины расстояния от точки D до АВС выполнено преобразование исходных проекций переменой плоскостей проекций.

Новая проекция плоскости АВС и точки D выполнено на плоскость П7, перпендикулярную горизонтали плоскости АВС. При этом плоскость АВС стала проецирующей, а перпендикуляр к ней спроецировался  без искажения прямого угла. Точка К является точкой пересечения перпендикуляра  с плоскостью, а отрезок D К – истинной величиной расстояния от точки D до плоскости АВС. 

 На чертеже рис.12 задана плоскость треугольником АВС. Требуется  преобразованием исходного чертежа построить истинную величину треугольника АВС.  Преобразуем чертеж перемещением треугольника АВС в пространстве при неизменной  системе координат и плоскостей проекций. 

 Очевидно, что треугольник АВС  спроецируется без искажения величины в том случае, когда его плоскость будет параллельна  одной из плоскостей проекции. При этом треугольник будет перпендикулярен другой  плоскости проекций. Переместим треугольник в положение при котором он будет перпендикулярен, например, плоскости 

П2. Для этого постоим в треугольнике горизонталь (рис.12)  и произведем преобразование с соблюдением постоянства условий к формирования прямоугольного  треугольника. На рис.12 не изменилась форма и величина горизонтальной проекции  АВС и расстояния от фронтальных проекций вершин треугольника до оси ОХ. После  преобразования треугольник стал фронтально проецирующей плоскостью (сравните рис.9,  справа). Повторным перемещением добиваемся параллельности треугольника плоскости П . Проекция А В С представляет треугольник АВС истинную величину. Наконец, рис.13  представляет собой решение задачи построения истинной величины линейного угла,  измеряющего двугранный угол DАВС с ребром АВ.

 Из геометрии известно,  что линейный угол двугранного угла измеряется в плоскости, перпендикулярной ребру  двугранного угла. Отсюда следует, что двугранный угол необходимо переместить в  пространстве так, чтобы ребро было перпендикулярно плоскости проекций, на которой  мы хотим получить истинную величину линейного угла.

 Если считать, что  на рис.11 отрезок АВ представляет собой ребро двугранного угла, то все преобразования  на рис.13 совершено аналогичны преобразования АВ на рис.11. разница в том, что на рис.13 вместе с АВ преобразуются точки С и D. Угол ω на рис.13 представляет собой истинную величину линейного угла, измеряющего исходный 

двугранный угол DАВС. 

 2.2. Варианты заданий и указания по оформлению чертежей 

  Варианты заданий выбирают из таблицы 2. Выбор варианта производят по последний цифре номера студенческого билета или индивидуального шифра студента. Из соответствующей строки таблицы выбирают координаты точек А, В, С, D, которые являются исходными для задач контрольной работы. 

 Задания 5, 6, 7 выполняют на листе формата А3, который оформляют стандартной рамкой и учебной основной надписью, показанной  на рис.14. Исходные чертежи заданий выполняют в масштабе 1:1 по координатам точек из табл.2 в мм.

 Задание 5. Опустить высоту из вершины D на противоположную  грань АВС и 

найти точку их пересечения. 

 Задание 6. Найти длину ребра АВ и угол между ребрами АВ и АD. 

 Задание 7. Определить угол между  гранями АВС и АВD. На рис.15 приведен 

образец выполнения заданий 5, 6 и 7 на листе формата А3. 

 Перед выполнением заданий необходимо проработать  материал по метрическим задачам и преобразованиям чертежа по конспектам либо по изданным текстам лекций преподавателей. Наряду с этим необходимо использовать  учебную литературу, указанную в списке рекомендованной литературы.

 Задание 8.

В задаче 8 требуется построить линии пересечения сферы радиуса R 50 мм с центром в точке О(90,55,50) и бесконечной прямой треугольной призмы, боковые грани которой перпендикулярны фронтальной плоскости проекций. Фронтальный след  призмы задан треугольником A B D, координаты x, z

вершины которого представлены в табл. 5 для десяти вариантов (по последней цифре учебного шифра). 

 1. Чтобы отразить на чертеже исходные данные, необходимо изобразить внешнюю 

систему координат (связанную с плоскостями проекций) OXYZ (рис. 22) и задать в ней: 

  а) центр сферы О(90,55,50), x=90, y=55, z=50 двумя проекциями О(О ,О); 

  б) на фронтальной плоскости проекции точек A B D , образующие треугольник следов призмы. Данные берутся из табл. 5. 

 Далее тонкими линиями из центра О(О  ,О ) строятся две проекции очерков сферы (окружности R=50 мм). 

 2. Поскольку призма перпендикулярна плоскости П2, то на фронтальной проекции решение является очевидным и определяется треугольником следов А В D. 

Строятся горизонтальные  проекции линий пересечения сферы с призмой. Прежде, чем начать построения, необходимо вспомнить, что сечение сферы любой 

 3. плоскостью дает натуральную окружность,  ориентация которой в пространстве определена положением самой секущей плоскости.  Здесь следует различать три основных случая: 

 а) секущая плоскость перпендикулярна  горизонтальной плоскости проекций П1 (является горизонтально проецирующей). 

В  этом случае окружность на горизонтальной плоскости проекций П1 вырождается в отрезок;

  б) секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекций П1. В этом  случае окружность отображается натуральной формой и величиной; 

 в) секущая  плоскость ориентирована в пространстве произвольным образом. В этом случае окружность проецируется на горизонтальную плоскость проекций П1 в виде эллипса. 

  Анализ условий задачи позволяет установить, что каждая из боковых граней призмы  может быть рассмотрена как некоторая плоскость, рассекающая сферу по одному из трех указанных вариантов. 

 Действительно, боковая грань, заданная следом  B D , соответствует первому случаю, т.е. отрезку D `B `B D (см. рис. 22) на плоскости П. 

 Боковая грань, заданная следом D A , соответствует второму случаю,  то есть окружность ОКР на плоскости П отражается в натуральную величину. Ее центр  расположен в точке О , а радиус равен отрезку О; 10 (R=O 10 ), измеренному на  плоскости П2. 

 Боковая грань, заданная следом А В, соответствует третьему  случаю, т.е. окружность на плоскость П1 проецируется в виде эллипса, построение  которого выполняется методом секущих плоскостей, с которым мы познакомились, решая задачу 10 (см. раздел 3.2 настоящих методических указаний). 

 Когда проекции  линий пересечения построены, необходимо выделить окончательное решение, установив условия видимости окружностей на плоскости П1, а также условия существования в видимости очерка сферы О1 (см. рис. 22). 

 Обводка окончательного решения  выполняется двумя типами линий – основной контурной (S≈1мм) и штриховой (S≈0,5 мм). 

Нанесение размеров с учетом конструктивных и технологических требований

При проектировании машин и механизмов в целях сокращения количества типоразмеров заготовок, режущего инструмента, контрольных приспособлений. Размеры, полученные расчетным путем, должны корректироваться (как правило, в большую сторону) и соответствовать линейным размерам по ГОСТ 6636-69 «Нормальные линейные размеры» и угловым размерам по ГОСТ 8908-58 «Нормальные углы».

Сопряженные и свободные размеры

При нанесении размеров на эскизах или рабочих чертежах деталей сборочной единицы, когда рассматривается целый комплекс взаимосвязанных деталей, необходимо учитывать различные факторы, определяющие правильность назначения размеров. В этом случае основное внимание следует обращать на:

Конструктивные особенности деталей и их взаимное расположение в сборочной единице.

Технологию изготовления деталей.

Возможности контроля назначенных размеров.

Две или несколько деталей, подвижно или неподвижно соединенных между собой, называются соединяемыми.

Поверхности, по которым детали соединяются, называются сопрягаемыми, а размеры, по которым происходит соединение, называются сопряженными или основными. Прочие, не связанные между собой поверхности и размеры, называются свободными.

Сопряженные размеры определяют взаимное положение деталей в механизме. Они обеспечивают точность работы деталей, возможность сборки и разборки, и обычно выполняются с относительно высокой точностью.

На рис. 51 показаны некоторые сопряженные и свободные размеры.

  О – основной (сопряженный) размер

 Св – свободный размер 

Рис. 51


Начартательная геометрия и инженерная графика Задачи контрольной работы