Определить натуральную длину отрезка Построить пересечение двух поверхностей Стадии разработки конструкторской документации изделий Изображение резьбы Пайка Склеивание Указания к выполнению задания по эскизам деталей

Начертательная геометрия и инженерная графика Задачи контрольной работы

КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Многие детали представляют собой конструкции из пересекающихся геометрических тел. Общая линия пересекающихся поверхностей называется линией пересечения. Линия пересечения двух поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на две и более составляющие. Эти составляющие могут быть как плоскими кривыми, так и прямыми линиями.

Для определения точек, общих для двух поверхностей, часто используют вспомогательные секущие поверхности. Эти поверхности называют поверхностями-посредниками. Поверхности-посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках, принадлежащих линии пересечения.

Рассмотрим в общем виде использование посредников при решении задачи на построение линии пересечения (m) двух заданных поверхностей Ф1 и Ф2, = m. Из рис. 1 видно, что посредник α пересекает заданную поверхность Ф1 по линии n, а поверхность Ф2 по линии l. Точка K (в действительности точек может быть больше), в которой пересекаются линии n и l, общая для заданных поверхностей Ф1 и Ф2, и следовательно, при-надлежит линии их пересечения – линии m. Многократно повторяя такой приём, получаем ряд точек искомой линии пересечения.

Наиболее часто в качестве поверхностей-посредников используют плоскости или сферы, в зависимости от чего различают следующие способы построения линии пересечения двух поверхностей:

а) способ вспомогательных плоскостей;

б) способ вспомогательных сфер.

Применение того или иного способа зависит как от типа данных поверхностей, так и от их взаимного расположения. Прежде чем перейти к рассмотрению более подробно каждого способа построения линии пересечения следует напомнить, что сначала надо определить так  называемые её

опорные (характерные) точки. К ним относятся:

1. Точки, принадлежащие контурным (очерковым) линиям пересекающихся поверхностей, среди которых будут и точки видимости;

2. Точки, координаты которых X, Y и Z имеют экстремальные значения, то есть точки, наиболее и наименее удалённые от плоскостей проекций П1, П2 и П3.

При построении ортогонального чертежа следует учитывать, что проекции линии пересечения всегда располагаются в пределах площади наложения одноимённых проекций пересекающихся поверхностей.

4.1. СПОСОБ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ

Этот способ следует применять когда секущие плоскости одновременно пересекают заданные поверхности по графически простым линиям. К таким линиям относятся прямые и окружности. Их возможные сочетания при использовании плоскостей-посредников приведены в табл. 1.1. Анализируя табл. 1.1, необходимо отметить, что в результате использования одного посредника можно сразу получать 1, 2 или 4 точки, принадлежащие линии пересечения – линии m. Рассмотрим на примерах построение линии пересечения двух поверхностей, используя способ секущих плоскостей.

Пример 1. Построить линию пересечения конуса вращения ( Ф1 ) с поверхностью полусферы ( Ф2 ) (рис. 1.1). Рассмотрим возможность применения плоскостей частного положения в качестве посредников (Ф).

Фронтальные плоскости уровня, кроме проходящей через общую плоскость симметрии, пересекают поверхность полусферы по окружностям, а поверхность конуса по гиперболам. Поэтому их не следует применять в качестве посредников.

Проецирующие плоскости будут давать сложные для построения на чертеже линии, поэтому их также нецелесообразно использовать в качестве посредников.

Горизонтальные плоскости уровня пересекают заданные поверхности по окружностям, которые проецируются на плоскость проекций П1 без искажения, а на плоскость проекций П2 – в прямые, совпадающие с фронтальными следами секущих плоскостей.

Проведённый анализ показывает, что в качестве посредников Ф должны быть использованы горизонтальные плоскости уровня. Их применение даёт наиболее простые и графически точные построения на чертеже, так как в этом случае окружности, по которым будут пересекаться обе поверхности с горизонтальной плоскостью уровня, отобразятся на П1 без искажения, как и основания поверхностей.

№ п/п

= n

= l

n ∩ l = (·) K

1

Прямая

Прямая

2

Прямая

Окружность

3

Окружность

Две прямые

4

Две прямые

Две прямые

5

Окружность

Окружность

6

Окружность

Окружность

Таблица 1.1

Решение задачи следует начинать с определения опорных (характерных) точек.

1. Точки, лежащие на очерковых образующих.

Для определения точек (или точки), лежащих на очерковых образующих, введём посредник – фронтальную плоскость уровня, проходящую через оси заданных поверхностей (рис. 1.1). Занимая частное положение, а именно β ׀׀ П2, плоскость β (i ׀׀ j) рассечёт конус по двум образующим AS и BS, а поверхность полусферы по полуокружности n. Фронтальные проекции A2S2 и S2B2 образующих AS и SB – крайние (очерковые) образующие конуса. Фронтальная проекция n2 полуокружности n – очерк полусферы на плоскости П2.

Анализируя чертёж, заметим, что левая очерковая образующая конуса A2S2 не имеет общих точек с очерковой полуокружностью n2, а правая очерковая образующая S2B2 пересекает очерковую полуокружность n2 в точке 12.

2. Высшая точка линии пересечения должна лежать в общей плоскости симметрии. Напомним, что эта плоскость включает в себя оси заданных поверхностей. В данном примере (рис. 1.1) такой плоскостью является плоскость β (i ׀׀ j) ׀׀ П2, поэтому найденная точка 1(11, 12) будет наивысшей точкой. Координата Z1=Zmax.

3. Низшие точки сечения.

Для определения таких точек введём посредник – горизонтальную плоскость уровня, проходящую через основания заданных поверхностей – плоскость αÎП1 (рис. 1.1). Эта плоскость пересекает конус по окружности k(k1, k2), а полусферу – по окружности  h(h1, h2). На фронтальной плоскости проекций эти окружности, проецируясь в прямые линии, совпадают, а на горизонтальной – окружность k(k1) пересекается с окружностью h(h1) в точках 21 и 31 (h1∩k1=(:)21≡31). Эти точки – низшие точки сечения Z2=Z3=Zmin.

После выполнения пунктов 2 и 3, становится ясно, что нижний предел вспомогательной секущей плоскости равен Z2, а верхний – Z1, то есть

  (1.1)

Особыми точками в данном примере будут точки 6 и 7 (рис. 1.2), в которых полусфера касается образующих конуса.

4. Точки касания образующих конической поверхности с поверхностью полусферы.

Для нахождения точек касания полусферы и конической поверхности

  необходимо выполнить следующие построения:

а) построить вспомогательную коническую поверхность ψ, образующие которой представляют собой множество прямых, проходящих через (·)S (S2) – вершину заданного конуса (Ф1) и касающуюся поверхности полусферы Ф2 () по окружности p радиуса r (рис. 1.2);

б) определить линию пересечения двух конических поверхностей с общей вершиной в точке S, то есть определить общие образующие, принадлежащие вспомогательному конусу (ψ) и заданному (Ф1): ψ ∩ Ф1 = SE, SF.

Для нахождения образующих SE и SF пересечём поверхности Ф1 и ψ сферой произвольного радиуса R с центром в точке S2, (рис. 1.2). Являясь соосной* с каждой из конических поверхностей, сфера пересечёт их по окружностям t и t′. На плоскость П2 эти окружности спроецируются в виде прямых, перпендикулярных к осям поверхностей Ф1 и ψ. Искомые образующие пройдут через точки пересечения окружностей t ∩ t′ = (:) E, F. Построив образующие SE и SF (E2= t2 ∩ t′2; E2≡F2) на плоскости П2, перейдём к построению горизонтальных проекций (E1, F1) точек E и F. Искомые точки принадлежат окружности t, которая находится в плоскости δ, параллельной плоскости П1. Радиус окружности =│M2N2│ определяется расстоянием от оси конуса (точка M2) до точки пересечения плоскости δ (δ2) с его очерковой образующей (точка N2). Спроецировав точки E2 и F2 на горизонтальную проекцию окружности t1 (), получим горизонтальные проекции точек E1 и F1. Далее, соединяя эти точки с вершиной S1, получим горизонтальные проекции искомых образующих S1E1 и S1F1;

в) найти точки 6 и 7, в которых образующие конической поверхности SE и SF касаются полусферы, то есть определить точки пересечения образующих SE и SF с окружностью p радиуса r (см. рис. 1.2), по которой вспомогательный конус ψ касается поверхности полусферы. Итак, точка 6(62)=S2E2∩p2; (62≡72). По линиям проекционной связи строим горизонтальные проекции (×) 61ÎS1F1, а (×) 71ÎS1E1. В этих точках образующие заданной конической поверхности Ф1 касаются полусферы Ф2. Особенность этих точек заключается в том, что именно в них образующие конической поверхности на развёртке касаются линии пересечения.

Определив все характерные точки, перейдём к построению промежуточных точек.

5. Определение промежуточных точек.

Напомним, что для их построения будем использовать в качестве по-

средника – горизонтальные плоскости уровня. Введение таких плоскостей должно выполняться с учётом неравенства (1.1). На рис. 1.1 показаны две плоскости уровня α' и γ. Каждая из них определяет пару точек на будущей линии пересечения. Рассмотрим плоскость γ. Она пересекает конус по окружности e. Радиус окружности Re. Эта же плоскость пересекает полусферу по окружности f радиуса Rf. Центр окружности Re лежит на оси i,

а центр окружности Rf – на оси j. На плоскости П2 эти окружности принадлежат вспомогательной плоскости γ ׀׀ П1, то есть совпадают со следом γ2, а на П1 они проецируются в натуральную величину. Построив проекции окружностей на П1, получим точки 41 и 51, в которых эти окружности пересекаются. Фронтальные проекции (42≡52) точек 4 и 5 принадлежат фронтальной проекции γ2 плоскости γ, см. рис. 1.1. Таким же образом строят и другие промежуточные точки, используя в качестве посредников горизонтальные плоскости уровня.

Далее, последовательно соединяя все полученные точки, с учётом видимости строят искомую линию m=. Точность построения будет зависеть от количества использованных посредников. Окончательное решение задачи приведено на рис. 1.3.

Пример 2. Построить линию пересечения поверхности конуса Ф1 с поверхностью полусферы Ф2.

Оси заданных поверхностей расположены на разном расстоянии от плоскости П2, то есть Yi¹Yj (рис. 1.4). Прежде чем начать определение точек, принадлежащих линии пересечения заданных поверхностей m=, рассмотрим более подробно, как следует определять характерные точки этой линии.

Определение низших точек. Введём в качестве посредника (рис. 1.4) плоскость α (α2). Плоскость α, принадлежащая плоскости П1 и проходящая через основание конуса и полусферы, рассечёт, соответственно, поверхности Ф1 и Ф2 по окружностям k и h, горизонтальные проекции которых пересекутся в точках 11 и 21. По линиям проекционной связи строим их фронтальные проекции 12 и 22 (см. рис.1.4). Точки 1 и 2 определяют нижний предел вспомогательной секущей плоскости α, то есть Z1,2=Zmin.

Определение высшей точки сечения. Для того, чтобы установить область поиска общих точек заданных поверхностей, необходимо определить верхний предел использования вспомогательных секущих плоскостей, параллельных плоскости П1, то есть определить координату Z высшей точки. Высшая точка

линии пересечения должна лежать в общей плоскости симметрии β поверхностей, которая пройдёт через ось конуса и ось сферы

(рис. 1.5). Плоскость β пересекает конус по образующим SA′ и SB′, а полусферу по полуокружности n′. Для нахождения точки 3 пересечения образующей SB′ с полуокружностью n′ необходимо выполнить следующие построения (см. рис. 1.5):

1) преобразовать чертёж так, чтобы плоскость β стала параллельной новой плоскости П4 и тогда полуокружность n′ спроецируется на П4 без искажения. Для этого необходимо выполнить замену плоскости П2 на плоскость П4 (β׀׀П4), а это значит, что от системы П2/П1 надо перейти к системе П4/П1. Ось X14 должна быть параллельна следу β1 (X14׀׀β1);

2) построить новые проекции образующих SA′, SB′ и полуокружности n′ на плоскости П4 (см. рис. 1.5). При этом необходимо помнить, что при переходе от одной системы к другой, расстояние от новой проекции точки (например, S4) до новой оси X14, равно расстоянию от преобразуемой проекции (S2) до предыдущей оси X12, то есть │S4 X14│=│S2 X12│. Точка O4 в новой системе должна принадлежать оси X14, так как точка O2 принадлежит оси X12;

3) в пересечении образующих и  определится высшая точка 3(34). Её горизонтальная проекция 31 должна принадлежать горизонтальному следу β1 (см. рис. 1.5). Для определения фронтальной проекции 32 высшей точки 3 следует использовать координату Z точки 3. После выполнения таких преобразований видно, что верхний предел Zmax вспомогательных секущих плоскостей равен Z3.

Для определения промежуточных точек в интервале  необходимо провести некоторое количество секущих плоскостей-посредников, параллельных плоскости П1. Но прежде чем перейти к построению промежуточных точек линии пересечения заданных поверхностей, необходимо найти точки, в которых образующие конической поверхности касаются полусферы. При этом следует помнить, что эти точки сначала надо найти в системе П4/П1, а далее, определив координаты Z этих точек, перейти в систему П2/П1.

Эпюрное решение, связанное с определением точек 6 и 7, в которых образующие конической поверхности касаются сферы, приведено на рис. 1.6. Метод, используемый при нахождении таких точек, подробно описан на стр. 10, рис. 1.2. На следующем рис. 1.7 показаны построения точки 4, в которой линия пересечения заданных поверхностей m касается правой очерковой образующей конуса. Заметим, что левая образующая конической поверхности с поверхностью полусферы не пересекается. Итак, для того чтобы определить точку 4, необходимо ввести плоскость-посредник  γ, проходящую через ось конуса i и расположенную параллельно плоскости П2 (рис. 1.7).

Эта плоскость пересечёт конус по образующим SA и SB, а поверхность полусферы по окружности k радиуса r¢. В пересечении фронтальной проекции S2B2 образующей SB с фронтальной проекцией k2 окружности k (r¢) получим фронтальную проекцию 42 точки 4. Учитывая, что точка 4 принадлежит плоскости γ, по линии проекционной связи определяем её горизонтальную проекцию 41Î γ1.

Там же на рис. 1.7 показано построение промежуточных точек 5 и 8 линии m посредством плоскости-посредника. Плоскость , параллельная плоскости П1, пересечёт поверхность конуса по окружности f радиуса , а поверхность полусферы по окружности e радиуса .

На плоскости П2 их проекции совпадут с фронтальной проекцией   плоскости, а на горизонтальной плоскости проекций окружности спроецируются в натуральную величину. В пересечении горизонтальных проекций f1 и e1 окружностей f и e получим точки 51 и 81, принадлежащие линии пересечения заданных поверхностей: f1 () ∩ e1 () = (:) 51, 81. Их фронтальные проекции 52 и 82 находим по линии проекционной связи на .

Многократно повторяя вышеописанные действия по определению промежуточных точек для различных плоскостей-посредников и с учётом интервала , получаем набор точек, принадлежащих искомой линии m=.

На рис. 1.8 показано окончательное решение задачи. Ранее найденные точки последовательно соединены плавной кривой (без особых точек) с учётом их относительной видимости.

Обратимся к заданному условию задачи (рис. 1.4). Из чертежа видно, что Yj больше Yi. Следовательно, поверхность полусферы находится ближе к наблюдателю, а это значит, что все точки линии пересечения, которые будут находится перед плоскостью δ (δ1) (δ – плоскость главного меридиана полусферы, расположенная параллельно плоскости П2 и проходящая че-

рез центр сферы), будут видимы на П2, а точки, которые находятся за плоскостью δ, на П2 будут невидимы. Границей раздела видимости для линии пересечения будет точка 9 (рис. 1.8). Но она не может быть найдена точно, так как плоскость δ пересекает полусферу по окружности n (n1; n2), а конус – по гиперболе. Поэтому, на рис.1.8 эта точка построена приближённо, как точка пересечения линии m с плоскостью δ, то есть на П1 мы имеем

91=m1∩ δ1.

Размеры правильного шестиугольника на деталях резьбовых соединений наносят, как показано на рис. 66. Размер «S», называемый «размером под ключ», выражается, как правило, целым числом, а размер «D» - диаметр описанной окружности - задается приблизительно. Размеры «под ключ», получившие наибольшее распространение, даны в табл. 2 и изображены на рис. 67.

Таблица 2

S

D

S

D

S

D

S

D

4

4,6

12

13,8

27

31,2

50

57,7

5

5,8

14

16,2

30

34,6

55

63,5

5,5

6,3

17

19,6

32

36,9

65

75

7

8,1

19

21,9

36

41,6

75

86,5

8

9,2

22

25,4

41

47,3

85

98

10

11,5

24

27,7

46

53,1

95

110

Рис. 67

Примеры нанесения размеров на некоторые элементы деталей, получаемых токарной обработкой, даны на рис. 68, 69.

Рис. 68

Рис. 69

Размеры отверстий, получаемых сверлением, наносят, как показано на рис. 70.

Рис.  70 


Начартательная геометрия и инженерная графика Задачи контрольной работы