Ядерная физика Импульсная диаграмма и кинематика ядерных реакций

Напомним, что кинематикой называют раздел механики, посвященный изучению геометрических свойств движения тел без учета действующих на тела сил. Движение любого тела в кинематике изучают по отношению к некоторой системе координат, позволяющей определить относительное положение движущегося объекта в любой момент времени. В ядерной физике обычно используют две системы координат: лабораторную (ЛСК), связанную с ядром-мишенью, и систему центра инерции (СЦИ), определение которой будет дано ниже.

Кинематическая схема ядерной реакции и связь между энергиями, импульсами и углами вылета частиц в ЛСК и СЦИ имеет наглядное графическое представление и может быть проанализирована с помощью импульсной диаграммы (векторной диаграммы импульсов). Построение импульсной диаграммы основано на применении законов сохранения энергии и импульса.

Пусть имеется произвольная инерциальная система координат К', которая движется относительно ЛСК со скоростью . Скорости любой из i = 1, 2, 3, . . . , N частиц в ЛСК и К'‑системе связаны следующим образом:

Закон сохранения импульса для совокупности из i = 1, 2, 3, . . . , N – частиц записывается следующим образом: Физика элементарных частиц Примеры решения задач

так как ЛСК и К'‑система – системы инерциальные. Первое слагаемое в правой части есть суммарный импульс частиц в К'-системе, а второе - определяет импульс движения К'-системы как целого в ЛСК, который носит название переносного импульса. Соответствующим выбором вектора скорости можно добиться, чтобы суммарный импульс частиц в К'-системе был равен нулю:

Система координат, в которой суммарный импульс частиц равен нулю, называется системой центра инерции (СЦИ). Условимся величины, относящиеся к СЦИ, обозначать сверху значком “~” (тильда). Положив в (4.5.2) = 0, найдем скорость движения СЦИ относительно ЛСК:

Обратимся к рассмотрению процесса (4.1.1). Пусть в ЛСК частица а движется со скоростью , а ядро-мишень А – покоится. Используя (4.5.4) найдем скорость движения СЦИ (или составного ядра, если таковое образуется) относительно ЛСК:

Из сотношения (4.5.2) и (4.5.5) следует, что переносной импульс СЦИ в ЛСК равен импульсу частицы а в ЛСК:

Поместим ядро-мишень А в начале координат (рис. 4.5.1). Если частица а движется вдоль оси Х навстречу частице А, то из (4.5.5) следует, что положение центра инерции на оси Х в любой момент времени связано следующим образом с положением х_а частицы а:

т.к. скорость движения вдоль оси Х есть dx/dt. На рисунке видно, что центр инерции всегда располагается между частицами а и А, двигаясь вдоль оси Х со скоростью , относительно ядра-мишени А.

Найдем с помощью (4.5.1) и (4.5.5) скорости движения частицы а и ядра-мишени А в СЦИ и соответствующие им импульсы:

Таким образом, импульсы частиц а и А в СЦИ равны друг другу и противоположно направлены, как и должно быть.

Используя (4.5.8) и (4.5.9), выразим суммарную кинетическую энергию частиц a и А в СЦИ через кинетическую энергию Т_aчастицы aв ЛСК в нерелятивистском приближении

Кинетическая энергия есть энергия взаимного движения частиц а и А и она меньше суммарной кинетической энергии Т₁ = Т_а на величину

которая есть ничто иное, как кинетическая энергия движения СЦИ (промежуточного ядра) относительно ЛСК.Действительно, кинетическая энергия движения СЦИ равна

Очевидно, что кинетическая энергия (4.5.12) движения центра инерции не может перейти во внутреннюю энергию частиц и не может быть использована в ядерной реакции.

На этом закончим рассмотрение входного канала процесса (4.1.1) и перейдем к рассмотрению выходного канала.

В ЛСК сумма импульсов частиц b и В, образовавшихся в результате ядерной реакции, по закону сохранения импульса равна импульсу налетающей частицы а:

На рис. 4.5.2 представлена схема одного из возможных вариантов разлета продуктов реакции, а на рис. 4.5.3 графический аналог векторного уравнения (4.5.13). На этих рисунках θ и φ – углы вылета частиц b и B относительно направления движения частицы а. Очевидно, что отрезок СВ на рис. 4.5.3 равен импульсуна рис. 4.5.2. Остальные величины совпадают с рис. 4.5.2. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать векторный треугольник АСВ (рис. 4.5.3).

Так как сумма импульсов переносного движения частиц b и В по закону сохранения импульса должна быть равна импульсу , т.е.

тоточка О на рис. 4.5.3 делит отрезок АВ = на отрезки АО = и ОВ = в соответствии с (4.5.15).

а угол на рис. 4.5.3 - есть угол вылета частицы b в СЦИ.

Вектор , согласно свойствам СЦИ, равен вектору по абсолютной величине:

и направлен в противоположную сторону, т.е. частицы b и B в СЦИ разлетаются с равными и противоположными импульсами.

Вычислим величину . Из закона сохранения энергии:

Полученные результаты можно использовать для построения векторной диаграммы импульсов, графически связывающей импульсы в ЛСК и СЦИ. Для этого отрезок, изображающий импульс Р_а (рис. 4.5.4), надо разделить точкой 0 в отношении . Затем из этой точки радиусом (4.5.20) провести окружность. Тогда, если известна хотя бы одна из величин Р_b, Р_B, θ,φ ,, из диаграммы можно определить графически все остальные.

В случае упругого рассеяния частицы выходного канала тождественны частицам входного канала и из (4.5.20) следует, что

Далее построение векторной диаграммы импульсов для упругого рассеяния не имеет особенностей и выполняется аналогичным образом.

Приведем теперь несколько примеров применения законов сохранения в ядерных реакциях.

Определим энергетический порог для эндоэнергетической реакции. Используя систему центра инерции и формулу (4.4.6), имеем

и, следовательно, минимальное значение (когда ) составит

Используя (4.5.10) найдем минимальную кинетическую энергию частицы а в лабораторной системе координат (ЛСК):

Полученное значение кинетической энергии бомбардирующей частицы в ЛСК, при котором становится возможным протекание эндоэнергетической реакции, называется порогом реакции. На рис. 4.4.1а приведена энергетическая диаграмма для экзоэнергетической реакции (Q > 0), а на рис. 4.4.1б - для эндоэнергетической реакции (Q < 0). На диаграммах изображен процесс образования промежуточного возбужденного ядра и его распад с образованием частиц B и b для обоих типов реакций. ε_а = M_A + m_a - M_c– есть энергия связи частицы а, а ε_b = M_B + m_b - M_c– частицы bотносительно промежуточного ядра М_ссоответственно.

Получим энергию(4.2.2) возбужденния промежуточного ядра

где массы основного и возбужденного состояний промежуточного ядра выражены в энергетических единицах, а звездочка означает возбужденное состояние.

Пусть ядро-мишень А покоится. Запишем законы сохранения энергии и импульса для первой стадии реакции

Будем рассматривать реакции для нерелятивистского случая малых энергий налетающей частицы (Т_а ≈ 10 МэВ << m_a). Тогда

Подставляя (4.5.28) в (4.5.27), получаем квадратное уравнение для нахождения :

В(4.5.29) последнее слагаемое составляет ничтожную долю от первых двух, так как . Поэтому в качестве первого приближения принимаем . Для получения второго приближения подставляем это выражение в (4.5.29). Получаем

Первый член в этом выражении есть ни что иное, как энергия связи частицы апо отношению к промежуточному ядру (см. (1.4.4)). Второй - суммарная кинетическая энергия частиц a и А до реакции в системе центра инерции. Итак,

(4.5.32)

§4.5. Импульсная диаграмма и кинематика ядерных реакций

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;

	(4.5.8)
	(4.5.9)