Ядерная физика

§4.3. Сечения ядерных реакций

Акт ядерной реакции, как и все процессы в микромире, является случайным явлением. Поэтому для количественного описания возможности ядерной реакции необходимо использовать вероятностный подход. Такой количественной характеристикой вероятности протекания реакции является эффективное сечение, которое определяется следующим образом. Пусть на площадку S = 1 см² тонкой пластинки, содержащей ядра-мишени А, падает перпендикулярно однородный в пределах площадки поток - количество частиц ав единицу времени. Тонкой будем считать пластинку, в которой ядра А не перекрывают друг друга. Оценим толщину пластинки. Так как размеры ядер меньше размеров атомов примерно в 10⁴ раз, то соответствующие им площади будут различаться в 10⁸ раз. В твердом теле атомы упакованы плотно, поэтому необходимо 10⁸ слоев атомов для заметного перекрытия ядер друг другом. Принимая диаметр одного атома примерно равным 10^-8см, получим, что толщина δ пластинки составит ~1 см. В слое dx <<  δ (отсутствие перекрытия ядер-мишеней) возможное число реакций в 1 см² пластинки

где n_А– концентрация ядер-мишеней А. Тогда вероятность (доля) реакций составит, согласно (4.3.1) преобразования Лоренца Примеры решения задач физика

Запишем (4.3.2) в виде точного равенства:

где σ – коэффициент пропорциональности, имеющий размерность площади, называется эффективным (микроскопическим) сечением ядерной реакции. Так как

где V – объем пластинки, а N_A – число ядер А в этой пластинке, то выражение (4.3.4) есть ничто иное, как отношение эффективной площади, занятой всеми ядрами пластинки, к площади пластинки. Поэтому эффективное сечение можно представить как среднее значение площади, в которой с определенной вероятностью должна произойти реакция при условии нахождения в ее пределах частиц а и А. В ядерной физике для измерения сечений используется специальная единица, называемая барн (б), 1б = 10^-24см².

Часто используется также понятие макроскопического сечения

имеющего размерность длины. Физический смысл этой величины выясним ниже.

Перепишем (4.3.3) в виде

и разделим левую и правую части равенства (4.3.6) на бесконечно малый объем dV = Sdx. В результате получим

В ядерной физике оказалось удобным использовать величину плотности потока частиц Ф. Пусть в объем сферы (рис. 4.3.1) с площадью поперечного сечения S по всевозможным направлениям поступает однородный в пределах объема сферы поток частиц . По определению плотность потока есть

Введем величину- числа реакций, происходящих в бесконечно малом объеме вещества мишени в единицу времени. С учетом этого и (4.3.8) выражение (4.3.7) принимает вид

где Ф_а– плотность потока частиц а. Выражение (4.3.9) будет нами неоднократно использоваться.

Установим, как изменяется плотность потока при движении частиц а в пластинке. Число реакций в тонком слое мишени толщиной dx в единицу времени равно ndx,а с другой стороны равно убыванию плотности потока частиц в этом слое, то есть

Используя (4.3.9) получаем дифференциальное уравнение для ослабления плотности потока частиц а:

которое следует интегрировать с граничным условием Ф_а(х = 0) = Ф₀. Сечение s также является функцией х, но часто (например, в случае прохождения тепловых нейтронов через вещество) можно приближенно считать, что s не зависит от x. Тогда, разделяя переменные в (4.3.11), получим после интегрирования:

Из (4.3.12) получаем вероятность частице а пройти без столкновений путь х:

Найдем среднюю длину пробега частиц а до вступления в реакцию:

В этом случае макроскопическое сечение S [см^-1] имеет смысл среднего числа взаимодействий частиц а на единице длины пути в мишени, то есть смысл коэффициента поглощениявматериале мишени.

Более подробной характеристикой ядерного взаимодействия (реакции или рассеяния) служит дифференциальное сечение:

Дифференциальное сечение определяет плотность вероятности продуктам (В или b) реакции (4.1.1) вылететь в пределах телесного угла dωв направлении  (рис. 4.3.2). Дифференцируя (4.3.3) по ω, получим выражение:

которое устанавливает связь между дифференциальным сечением и плотностью вероятности. Если спины налетающих частиц и ядер-мишений ориентированы хаотично, то процесс взаимодействия не зависит от полярного угла φ и определяется только азимутальным углом θ вылета одной из частиц. Так как dω = sinθdθdφ, то

Зависимость дифференциального сечения от угла θ называется угловым распределением.

Интегрирование (4.3.17) по углу θ устанавливает связь между эффективным сечением и угловым распределением:

Часто вместо зависимости s(E,q) используют зависимость s(Е,m), где m º cosq. Тогда

На одних и тех же ядрах А под действием частиц а могут иметь место различные выходные каналы (см. (4.1.2), каждый из которых характеризуется своим парциальными микроскопическим σ_i и макроскопическим Σ_iсечениями. Тогда, в соответствие с (4.3.6), сечения входного канала или полные сечения s_t и Σ_t складываются из парциальных сечений следующим образом:

Если же вещество мишени имеет в своем составе ряд различных нуклидов, концентрация ядер каждого из которых равна n_j, то в этом случае можно говорить только о полном макроскопическом сечении

где  - микроскопическое сечение реакции вида i на ядрах j, или о средней (приходящейся на одно ядро) величине микроскопического сечения реакции вида i:

Используя (4.3.14) и (4.3.20) или (4.3.21) можно рассчитать полную среднюю длину пробега  частиц а:

Вероятность осуществления ядерной реакции, непосредственно измеряемой в физических экспериментах и позволяющий экспериментально определить макроскопическое сечение, является выход ядерной реакции Y или просто выход. Выход определяется как число частиц а, испытавших взаимодействие в единицу времени, отнесенное к полному числу частиц а, падающих на мишень макроскопических размеров в единицу времени. Вид формулы, связывающей выход и макроскопическое сечение, определяется конкретным видом ядерной реакции. Для примера рассмотрим процесс (4.3.12) на мишени толщиной d:

После небольших преобразований и логарифмирования получаем формулу для нахождения макроскопического сечения

если, как обычно, Y << 1.

Для экспериментального определения дифференциального сечения необходимо измерить угловое распределение продуктов реакции или рассеяния частиц а

§4.3. Сечения ядерных реакций

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;