Ядерная физика

§3.2. Основные законы радиоактивного распада

Радиоактивный распад – явление принципиально статистическое. Нельзя предсказать, когда именно распадется данное ядро, а можно лишь указать с какой вероятностью оно распадется за тот или иной промежуток времени. Распад отдельного радиоактивного ядра не зависит от присутствия других ядер и может произойти в любой интервал времени. Наблюдения за очень большим числом одинаковых радиоактивных превращений ядер позволяет установить вполне определенные количественные закономерности для характеристики процесса радиоакивного распада.

Естественная статистическая величина, характеризующая радиоактивный распад, – постоянная (или константа) распада λ – определяет вероятность распада ядра в единицу времени и имеет размерность [время]^‑1. Экспериментальные и теоретические исследования позволяют заключить, что постоянная распада λ не зависит, по-видимому, от времени, прошедшего с момента образования ядра, что отражено в названии.

Пусть ядро достоверно существует в некоторый момент времени t = 0, условно принимаемый за ноль. У этого ядра к произвольно выбранному моменту времени t может реализоваться одна из двух возможностей:

1)            ядро испытало радиоактивный распад и вероятность такого события равна ;

2)            ядро не испытало радиоактивного распада и вероятность такого события равна . Индуктивность контура Магнитное поле

Очевидно, что

Установим, чему равна вероятность  испытать ядру радиоактивный распад за время dt. Прежде, чем ядро испытает распад за интервал времени между , необходимо, чтобы ядро не распалось к моменту времени t. Вероятность dp(t) такого сложного события будет равна

где λdt - вероятность распада ядра за время dt. Используя (3.2.1) уравнение (3.2.2) приведем к виду

Поскольку ядро достоверно существует в момент времени , то имеем очевидное начальное условие . Тогда искомая вероятность составит

При помощи (3.2.1) и (3.2.4) найдем для ядра вероятность q(t)не испытать распада к моменту времени t:

Соотношения (3.2.4) и (3.2.5) содержат полное описание статистических свойств радиоактивного распада ядер и позволяют определить любые статистические характеристики распада.

Найдем среднее времяжизни ядра, используя определение для математического среднего:

поскольку  – вероятность того, что ядро, прожив время t, распадется за время между .

Пусть в момент времени t = 0 имелось N₀ радиоактивных ядер одной природы. Наиболее вероятное (ожидаемое) число ядер N(t), которые не испытают радиоактивного распада к моменту времени t, должно составить

а соответственно число распавшихся ядер (d – decay – распад)

Формула (3.2.7) выражает основной закон радиоактивного распада. Следует еще раз подчеркнуть, что  имеют смысл наиболее вероятного количества оставшихся и распавшихся радиоактивных ядер к моменту времени t. Реальные же количества радиоактивных ядер к моменту времени tмогут быть как больше, так и меньше. Используемая далее в выражениях величина N, если не оговорено иное, всегда имеет смысл среднего числа ядер.

В ядерной физике и ее приложениях используется еще одна временная характеристика распада – период полураспадаТ_1/2, которая определяет время, за которое первоначальное количество ядер N₀должно уменьшиться в два раза. Установим связь между периодом полураспада Т_1/2 и постоянной распада λ. По определению

откуда

Сравнивая это выражение с (3.2.6) устанавливаем, что

Для характеристики радиоактивных свойств вещества, т.е. совокупности большого числа радиоактивных ядер, служит специальная величина, характеризующая скорость радиоактивных превращений, которая называется активностью. Активность А (не путать с массовым числом А!) – среднее число ядер в образце, испытавших радиоактивный распад за единицу времени. Для радиоактивных ядер одной природы получим, используя (3.2.8):

Полученное выражение можно записать в следующем виде (учитывая (3.2.7)):

или же в виде

где - начальная активность образца.

Единицей измерения активности в СИ служит беккерель (Бк),

Часто в практических приложениях используется другая единица измерения активности - кюри (Ки):

Активность, отнесенная к массе радиоактивного препарата, называется массовой удельной активностью. Для жидких и газообразных веществ иногда используют объемную удельную активность.

Для определения l (а, следовательно, t и Т_1/2) можно использовать формулу (3.2.12), если в некоторый произвольный момент времени измерить активность препарата и число радиоактивных ядер. Этим методом удобно пользоваться, когда период полураспада достаточно велик, и поэтому изменением числа радиоактивных ядер за время измерения активности можно пренебречь. Если период полураспада Т_1/2 не очень велик, то можно непосредственно снять кривую изменения активности через определенные интервалы времени. Затем по полученным значениям строят график зависимости натурального логарифма активности от времени. Постоянную распада l удобно находить, если записать (3.2.13) в виде:

Зависимость (3.2.14)представляет собой прямую, а l определяется по тангенсу угла наклона этой прямой (рис. 3.2.1) или непосредственно по уменьшению активности вдвое. В реальных условиях экспериментальные точки имеют неизбежный разброс, определяемый статистической природой радиоактивного распада. Для проведения через такие точки наиболее достоверной прямой обычно используют метод наименьших квадратов, в результате чего среднеквадратичное отклонение точек от найденной прямой будет минимальным.

Весьма распространенными являются случаи распада радиоактивных ядер с образованием не только стабильных, но и радиоактивных дочерних ядер. В последнем случае возникают цепочки распадов. Примером таких цепочек могут служить рассмотренные выше радиоактивные семейства. Баланс числа радиоактивных ядер при этом определяется следующими уравнениями:

где индекс 1 относится к первичным материнским ядрам, а индексы 2, 3, . . . – к дочерним. Распад ядер N₁ описывается обычным законом распада (3.2.7). Баланс ядер каждого дочернего вещества определяется скоростью собственного распада (активностью) и скоростью рождения, равной скорости распада ядер-предшественников. Решение каждого уравнения (3.2.15) зависит только от вида решения предшествующего. В простейшем случае, когда в начальный момент времени дочерних ядер нет, а количество материнских ядер равно N₁₀, решение каждого k-го уравнения из (3.2.15) имеет вид:

Полное число радиоактивных ядер есть сумма всех количеств N_k, существующих в данный момент времени.

Из общего решения (3.2.16) получаем решение для N₂(t):

Из (3.2.17) следует, что количество ядер N₂ достигает своей максимальной величины

в момент времени

а затем монотонно убывает. Если l₁ << l₂ (или (Т_1/2 )₁ >> (Т_1/2 )₂) и t » (Т_1/2 )₂, то из (3.2.17) в пределе t→ ∞ получаем

т.е. устанавливается динамическое равновесие между активностью материнского и дочернего препаратов, которое называется вековым равновесием. Вековое равновесие широко используется для определения периодов полураспада долгоживущих материнских нуклидов по известным значениям l₂ и N₂/ N₁. Очевидно, что при выполнении соответствующих условий вековое равновесие может наступать для любой пары соседних элементов в цепочке распадов.

Другой предельный случай l₁ >> l₂ (или (Т_1/2 )₁ << (Т_1/2 )₂) при t » (Т_1/2 )₁ дает зависимость

которая фактически является кривой распада дочернего вещества.

§3.2. Основные законы радиоактивного распада

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;