Ядерная физика

§2.2. Капельная модель

В основу капельной модели (Вейцзеккер, 1935г., Бор, 1936г.) положено сходство в поведение атомного ядра и заряженной капли жидкости. Ядра имеет достаточно четко определенный радиус R ~ A^1/3 (см. формулу (1.5.2)), из чего следует практически одинаковая (не зависящая отА) концентрацию нуклонов в ядрах:

одинаковая плотность ядерного вещества

и одинаковые средние расстояния между нуклонами:

Ускорители заряженных частиц Магнитное поле

Эти цифры говорят о совершенно необычном, прямо-таки потрясающем, с точки зрения макроскопических тел, состоянии ядерного вещества (например, для обычных твердых тел n» 10²²см^-3 , ρ» 10 г/см³, δ » 5·10^-8см).

То, что плотность ядерного вещества всех ядер постоянна, свидетельствует о его несжимаемости. Это свойство сближает ядерное вещество с жидкостью. Постоянство удельной энергии связи нуклонов в ядре углубляет аналогию. Основанием к такому предположению служит, прежде всего, тот факт, что химические силы, действующие между молекулами в жидкости, и ядерные силы, действующие между нуклонами в ядре, являются короткодействующими. Все это позволяет построить капельную модель атомного ядра, согласно которой ядро представляет сферическую каплю заряженной сверхплотной жидкости.

Основным результатом капельной модели является полуэмпирическая формула Вейцзеккера, в которую для получения лучшего согласия с наблюдаемыми величинами пришлось добавить члены, никоем образом не связанные с капельной моделью. Эта формула позволяет с хорошей точностью (< 1 %) вычислять энергию связи ядер по заданным значениямАи Z:

, (2.1.1)

где a₁, … a₅, и d - постоянные величины. Коэффициенты, a₁, … , a₅ подбираются таким образом, чтобы получить наилучшее согласие со значениями энергии связи для большинства всех известных ядер. Коэффициент а₃ может быть вычислен теоретически (см. ниже). Приведемих величины:

a₁= 15,75 МэВ; a₂ = 17,8 МэВ; a₃ = 0,71 МэВ; a₄ = 23,7 МэВ;

a₅= 34 МэВ.

Рассмотрим последовательно физический смысл всех членов формулы Вейцзеккера.

Первый член а₁Aв этой формуле предполагает, что все нуклоны в ядре равноценны, и определяет примерно линейную зависимость энергии связи ΔW от А, отражая свойство насыщения ядерных сил, рассмотренное в §1.4 п.1. Однако, обращает внимание отличие вдвое коэффициента а₁ от 8 МэВ – приблизительной величины энергии связи для большинства стабильных нуклидов (см. рис.1.4.2). Это вызвано учетом поправок на уменьшение энергии связи, которое дается вторым, третьим и четвертым членами формулы Вейцзеккера.

Второй член а₂A^2/3 учитывает, что не все нуклоны в ядре равноценны и дает поправку на уменьшение полной энергии связи, обусловленную тем, что часть нуклонов находится у поверхности ядра. Нуклоны в поверхностном слое не испытывают насыщения всех своих возможных связей, так как испытывают одностороннее притяжение вглубь ядра. Количество периферийных нуклонов определяется поверхностью ядра S ~, которая, в силу (1.5.2), пропорциональна A^2/3.

Третий член а₃·в формуле определяет взаимное кулоновское расталкивание протонов, энергия которого пропорциональна Z²/R. Кулоновские силы не испытывают насыщения, и каждый из Z протонов взаимодействует со всеми остальными Z – 1; таким образом Z(Z - 1) ≈ Z². Коэффициент а₃ может быть вычислен на основании представления о равномерном распределении электрического заряда по объему сферы радиуса R:

Это соотношение позволяет найти коэффициент , если известна величина Rили, наоборот, подсчитать радиус ядра R по известному коэффициенту  для всех ядер. Если в формуле (1.5.2) принять r₀ = 1,3·10^-13см, то величина а₃ = 0,66 МэВ.

Если ограничиться только этими тремя слагаемыми, следующими из капельной модели, то оказывается, что устойчивость ядра должна возрастать с увеличением числа нейтронов в ядре при заданном числе протонов. Однако экспериментальные данные указывают на иную тенденцию. Четвертый член в формуле (2.2.4), который носит название поправки на энергию симметрии, уже не следуетиз модели жидкой капли и отражает наблюдаемую в природе тенденцию к симметрии в строении ядер. Считается установленным, что при отсутствии кулоновских сил максимум удельной энергии связипри фиксированном А соответствовал бы всем ядрам с равным числом протонов Z и нейтронов N (эффект симметрии), т.е. Z = N =A/2. Это обусловлено зарядовой независимостью ядерных сил (см. §1.10), и необходимостью выполнения принципа Паули (см. §1.11) для двух нуклонов, которые имеют спин 1/2. Равное число протонов и нейтронов у легких ядер, лежащих на дорожке стабильности (см. рис. 1.1.1 и 1.1.2), когда энергия кулоновского расталкивания мала, косвенно подтверждает это положение. Для компенсации расталкивающего действия кулоновских сил, величина которых ~ Z² (см. пояснения к третьему члену формулы), у стабильных тяжелых ядер N > Z , но кулоновская энергия уже учтена в третьем члене, и поэтому четвертый член действителен также для средних и тяжелых ядер. Отклонение от равенства Z = A/2 в любую сторону ведет к уменьшению удельной энергии  связи ядра (A,Z) и четвертый член в формуле должен быть отрицательным. Поэтомуразность (N - Z) необходимо возвести в квадрат и разделить на А (отнести к одному нуклону). Так как N  = A - Z, то четвертый член приобретает вид a₄·(A – 2Z)²/A.

Последний член в формуле (2.2.4) отражает распространенность стабильных элементов и учитывает эффект спаривания одинаковых нуклонов (см. §1.4 п.3). Ядра, у которых числа N и Z - четные (Ч-Ч ядра) имеют удельную энергию связи примерно на 1 Мэв большую, чем соседние ядра, у которых либо N, либо Z - нечетные (Ч‑Н и Н-Ч ядра). Ядра с нечетным числом и протонов, и нейтронов (Н-Н ядра) имеют наименьшую удельную энергию связи среди соседних ядер. Стабильных ядер последнего типа, как отмечалось в §1.1, известно всего четыре.  В соответствии с этим величина δ в пятом члене формулы Вейцзеккера принимает три значения:

Таким образом, для четных А формула (2.2.4) двузначна.

Остановимся на некоторых следствиях из формулы Вейцзеккера. По заданным А и Z можно:

1. Вычислить массу ядра. Из формулы (1.4.11)

если энергию связи ядра рассчитать по формуле (2.2.4).

2. Найти удельную (среднюю) энергию связи  нуклона для любого нуклида.

3. Найти среднюю энергию связи (отделения) протона и нейтрона в ядре

и любой группы связанных нуклонов, например α-частицы:

Еслиε_α< 0, то получаем энергию α-распада.

4. Найти Z₀ нуклида, устойчивого по отношению к β-распаду, для любой группы ядер-изобар. На рис. 2.2.1 представлена зависимость (2.2.6) массы ядра от Z для изобар, имеющих нечетное число нуклонов (а) и – четное число нуклонов (б). Кривые надо понимать условно, так как физический смысл имеют значения массы ядер только для дискретных значений Z. Переходы в состояния с меньшей массой показаны на рисунке стрелками. Кривая I на рис. 2.2.1 б) соответствует нестабильным относительно β-распада нечетно-нечетным ядрам. Причем некоторые из ядер могут испытывать (см. §3.5) как электронный распад, так и позитронный распад, или же Е‑захват. Изобары, лежащие на кривой II, могут иметь по несколько стабильных нуклидов, так как двойной β-распад неизвестен.

На основании формулы (2.2.6) можно получить условие устойчивости ядер относительно β-распада. Очевидно, что наиболее устойчивые изобары должны иметь минимальную массу М при заданном числе А нуклонов. Для нахожденияминимума решаем уравнение

откуда находим

если в формуле (2.2.4) использовать приведенные выше значения коэффициентов а₁ ÷ а₅. Полученное выражение (2.2.11) является, по существу, уравнением дорожки стабильности и позволяет определять Z₀ для заданных А с точностью ±1. Из (2.2.11) следует, что для β-стабильных ядер при малых значениях А (легкие ядра) Z₀ ≈ 0,5A, а для тяжелых (А = 238) Z₀ ≈ 0,39A, что совпадает с экспериментальными данными на рис. 1.1.2.

5. Проникновение нуклона в ядро-каплю приводит из-за малой сжимаемости ядерного вещества к коллективному движению нуклонов, вызывающих деформацию ядра без изменения его объема, в результате чего оно принимает форму эллипсоида или более сложной фигуры и возможно возникновение колебаний ядерной жидкости.

6. Капельная модель позволяет построить качественную модель деления тяжелых ядер.

Наряду с отмеченными достоинствами капельной модели, перечислим и ее некоторые основные недостатки. Капельная модель учитывает коллективное взаимодействие нуклонов между собой, но совершенно не учитывает взаимодействия и свойства отдельных нуклонов. Поэтому капельная модель приводит к плавной зависимости свойств ядер от числа и состава нуклонов в ядре. Ряд свойств ядра – удельная энергия связи , спин ядра, магнитный и электрический моменты изменяются периодически от числа нуклонов в ядре. Четно-четные ядра в основном состоянии имеют нулевой спин, магнитный и электрический моменты. Капельная модель не объясняет наличия магических чисел, не дает правильного описания возбужденных уровней легких и средних ядер, не объясняет асимметрию деления ядер, хотя и используется довольно плодотворно в теории деления ядер.

§2.2. Капельная модель

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;